Giải thích các bước giải:

a.Vì $BM$ là phân giác $\hat B$

         $ME\perp AB, MK\perp BC$

$\to ME=MK$

Vì $CM$ là phân giác $\widehat{ACB}$

      $MF\perp CA, MK\perp BC$

$\to MF=MK$

$\to ME=MF(=MK)$

b.Ta có: $ME\perp AB, MF\perp AC, ME=MF$

$\to AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$

c.Gọi $Bx\cap Cy=I$

Kẻ $IG\perp BC, IP\perp AB, IR\perp AC$

Ta có: $BI$ là phân giác $\widehat{CBP}, IG\perp BC, IP\perp BP$

$\to IP=IG$

Tương tự $IG=IR$

$\to IP=IG$

Mà $IP\perp AB, IR\perp AC$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Lại có $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to A, M, I$ thẳng hàng

$\to AM, Bx,Cy$ đồng quy

d.Ta có:

$AE^2=AM^2-ME^2=AM^2-MF^2=AF^2$

$\to AE=AF$

Tương tự chứng minh được $BE=BK, CF=CK$

Ta có:

$AE=AB-BE=AB-BK, AF=AC-CF=AC-CK$

$\to AE+AF=(AB-BK)+(AC-CK)=AB+AC-(BK+CK)=AB+AC-BC$

Mà $AE=AF$

$\to 2AE=2AF=AE+AF=AB+AC-BC$

$\to AE=AF=\dfrac{AB+AC-BC}2$

Ta có: $AP^2=AI^2-IP^2=AI^2-IR^2=AR^2$

$\to AP=AR$

$\to 2AP=2AR=AP+AR=(AB+BP)+(AC+CR)=AB+BP+AC+CR=(AB+AC)+(BP+CR)=(AB+AC)+(BG+GC)=(AB+AC)+BC=AB+AC+BC$

$\to AP=AR=\dfrac{AB+AC+BC}{2}$