Đáp án:

1/ Xét ΔAIE và ΔBIM có:

AI = BI ( I là trung điểm AB )

$\widehat{AIE}$ = $\widehat{BIM}$ ( 2 góc đối đỉnh )

IE = IM ( gt )

⇒ ΔAIE = ΔBIM (c-g-c)

⇒ $\widehat{IAE}$ = $\widehat{IBM}$ ( 2 góc t/ứ = nhau )

⇒ AE // BM ( có cặp góc ở vị trí so le trong = nhau )

2/ Xét ΔAIM và ΔBIE có:

AI = BI; $\widehat{AIM}$ = $\widehat{BIE}$ ( 2 góc đối đỉnh ); IM = IE (gt)

⇒ ΔAIM = ΔBIE (c-g-c)

⇒ $\widehat{MAI}$ = $\widehat{EBI}$ = 90 độ * 2 góc t/ứ = nhau )

⇒ AM ⊥ AI mà AD ⊥ AI

⇒ D; A; M thẳng hàng

AM = BE ( 2 cạnh t/ứ = nhau )

Xét ΔDME có DI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

⇒ ΔDME cân tại D ⇔ DM = DE

⇔ DE = DA + AM = AD + BE

3/ ΔDME cân tại D ⇒ $\widehat{DME}$ = $\widehat{DEM}$

Xét ΔAMI và ΔHEI có:

$\widehat{IAM}$ = $\widehat{IHE}$ (= 90 độ); $\widehat{AMI}$ = $\widehat{HEI}$ (c/m trên); IM = IE

⇒ ΔAMI = ΔHEI (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AI = HI ( 2 cạnh t/ứ = nhau )

⇒ HI = AI = BI = $\frac{1}{2}$ AB ⇒ AB = 2 HI

⇒ ΔIHA cân tại I ⇒ $\widehat{IAH}$ = $\widehat{IHA}$

ΔIHB cân tại I ⇒ $\widehat{IBH}$ = $\widehat{IHB}$

Xét ΔAHB, ta có: $\widehat{AHB}$ + $\widehat{IAH}$ + $\widehat{IBH}$ = 180 độ

⇔ $\widehat{IHA}$ + $\widehat{IHB}$ + $\widehat{IHA}$ + $\widehat{IHB}$ = 180 độ

⇔ 2($\widehat{IHA}$ + $\widehat{IHB}$) = 180 độ

⇔ $\widehat{AHB}$ = 90 độ

⇒ ΔAHB vuông tại H ⇔AB² = HA² + BH² ( định lý pytago )

⇔ AH² + BH² = AB² = (2HI)² = 4 HI²