Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$\widehat{CHI}=\widehat{CKB}=90^o,\widehat{ICH}=\widehat{KCB}$

$\to\Delta CHI\sim\Delta CKB(g.g)$

$\to\dfrac{CH}{CK}=\dfrac{CI}{CB}$

$\to CH.CB=CK.CI$

Lại có: $\widehat{CHA}=\widehat{CAB}=90^o,\widehat{ACH}=\widehat{ACB}$

$\to \Delta CHA\sim\Delta CAB(g.g)$

$\to\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}$

$\to CH.CB=CA^2$

$\to CI.CK=CA^2$

b.Vì $A,D$ đối xứng qua $H$ mà $AH\perp BC$

$\to A,D$ đối xứng qua $BC\to CA=CD$

$\to CD^2=CI.CK$

$\to \dfrac{CI}{CD}=\dfrac{CD}{CK}$

Mà $\widehat{ICD}=\widehat{KCD}$

$\to\Delta CDI\sim\Delta CKD(c.g.c)$

$\to \widehat{CKD}=\widehat{CDI}$

Tương tự $\widehat{CKA}=\widehat{CAI}$

Do $A,D$ đối xứng qua $BC$

$\to \widehat{CAD}=\widehat{CDA}$

$\to \widehat{CAI}=\widehat{CDI}$

$\to \widehat{CKA}=\widehat{CKD}$

$\to KC$ là phân giác $\widehat{AKD}$

a) Xét tứ giác $AKBC$ có:

$\widehat{BKC} = \widehat{BAC} = 90^o$

Do đó $AKBC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AKC} = \widehat{ABC}$

Ta lại có: $\widehat{ABC} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)

nên $\widehat{AKC} = \widehat{HAC}$

hay $\widehat{AKC} = \widehat{IAC}$

Xét $∆CIA$ và $∆CAK$ có:

$\widehat{C}:$ góc chung

$\widehat{AKC} = \widehat{IAC} \, (cmt)$

Do đó $∆CIA \sim ∆CAK \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{CI}{CA} = \dfrac{CA}{CK}$

$\Rightarrow CA^2 = CI.CK$b

b) Ta có: $D$ đối xứng với $A$ qua $H$ $(gt)$

$\Rightarrow BC$ là trung trực của $AD$

$\Rightarrow \widehat{ABH} = \widehat{BDH}$ $(1)$

Do $BC$ là trung trực của $AD$ ta cũng được:

$AB = DB$

$AC = DC$

$\Rightarrow ∆ABC = ∆DBC \, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{A} = \widehat{D} = 90^o$

$\Rightarrow BDCK$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DKC} = \widehat{DBC}$ $(2)$

Mặt khác: $\widehat{AKC} = \widehat{ABC}$ ($AKBC$ nội tiếp) $(3)$

$(1)(2)(3) \Rightarrow \widehat{AKC} = \widehat{DKC}$

$\Rightarrow KC$ là phân giác của $\widehat{AKD}$