Giải thích các bước giải:

  a.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta ABC\) vuông tại A: 

\(AB^{2} +AC^{2}=BC^{2}\) 

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20\) cm

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao: 

\(BC.AH=AB.AC\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{20.15}{25}=12\) cm

\(AC^{2}=BC.HC\)

\(\Leftrightarrow HC=\dfrac{20^{2}}{25}=16\) cm

\(AB^{2}=BC.HB\) 

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{15^{2}}{25}=9\) cm

b. 

\(BC=HB+HC=18+32=50\) cm

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao:

\(AC^{2}=BC.HC\)

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{50.32}=40\) cm

\(AB^{2}=BC.HB\) 

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{50.18}=30\) cm

\(BC.AH=AB.AC\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{30.40}{50}=24\) cm

c. 

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao: 

\(AH^{2}=BH.CH\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{7,2^{2}}{9,6}=5,4\) cm

\(BC=CH+BH=5,4+9,6=15\) cm

\(AB^{2}=BC.HB\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{15.5,4}=9\) cm

\(AC^{2}=BC.HC\)

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{15.9,6}=12\) cm

d.

Do \(AB<AC\) nên \(HB<HC\) (Do \(AC^{2}=BC.HC\) ; \(AB^{2}=BC.HB\) )

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao:

\(AH^{2}=BH.CH\)

\(\Leftrightarrow CH=\dfrac{12^{2}}{HB}=\dfrac{144}{HB}\)

Mặc khác: \(HB+HC=BC=25\)

\(\Leftrightarrow HB+\dfrac{144}{HB}=25\)

\(\Leftrightarrow HB^{2}-25HB+144=0\)

\(\Leftrightarrow HB=9; HB=16\) 

\(\Rightarrow HC=\dfrac{144}{9}=16\) (Nhận \(HB<HC\))

\(HC=\dfrac{144}{16}=9\) (Loại do \(HB>HC\))

\(AB^{2}=BC.HB\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{25.9}=15\) cm

\(AC^{2}=BC.HC\)

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{25.16}=20\) cm