a)

`a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca`

`⇔2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ca`

`⇔a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2≥0`

`⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0` (luôn đúng)

`⇒đpcm`

b)

`3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)^2`

`⇔3(ab+bc+ca)≤a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc`

`⇔a^2-2ab+b^2-2bc+c^2-2ac+a^2≥0`

`⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0` (luôn đúng) (1)

________________________________________________________________________

`(a+b+c)^2≤3(a^2+b^2+c^2)`

`a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)`

`⇔2ab+2ac+2bc≤2(a^2+b^2+c^2)` (luôn đúng do câu a) (2)

Từ `1` và `2`

`⇒đpcm`

c)

`(ab+bc+ca)^2≥3abc(a+b+c)`

`⇔(ab+bc+ca)^2≥3abac+3babc+3cacb`

Đặt `x=bc;y=ca;z=ab`

`⇒(x+y+z)^2≥3zy+3zx+3xy`

`⇔(x+y+z)^2≥3(zy+zx+xy)` (luôn đúng do câu b)

`⇒đpcm`

$\color{red}{+)a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca}$ 

Ta có:

$\begin{cases}(a-b)^2\ge0\\(b-c)\ge0\\(c-a)\ge0\end{cases}$$⇔\begin{cases}a^2-2ab+b^2\ge0\\b^2-2bc+c^2\ge0\\c^2-ca+a^2\ge0\end{cases}$$⇔\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}$. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`

`⇒a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge2ab+2bc+2ca`

`⇔2(a^2+b^2+c^2)\ge2(ab+bc+ca)`

`⇔a^2+b^2+c^2\geab+bc+ca.`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`

Vậy `a^2+b^2+c^2\geab+bc+ca(dpcm).`

________________________________________________________________________________________

$\color{red}{+)3(ab+bc+ca)\le(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)}$ 

Ta chia thành hai lần để chứng minh, là:

`1)3(ab+bc+ca)\le(a+b+c)^2`

`2)(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)`

Ghi nhớ: bất đẳng thức cho hai số: `(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`

Ta đi chứng minh điều `1)`

`3(ab+bc+ca)\le(a+b+c)^2`

`⇔3(ab+bc+ca)\lea^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`

`⇔a^2+b^2+c^2\ge3(ab+bc+ca)-2(ab+bc+ca)`

`⇔a^2+b^2+c^2\geab+bc+ca`

Đến đây quay về bài toán trên đã chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`

Ta đi chứng minh điều `2)`

`(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)`

`⇔a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\le3(a^2+b^2+c^2)`

`⇔3(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)\ge2(ab+bc+ca)`

`⇔2(a^2+b^2+c^2)\ge2(ab+bc+ca)`

`⇔a^2+b^2+c^2\geab+bc+ca`

Đến đây quay về bài toán trên đã chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`

Vậy `3(ab+bc+ca)\le(a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)(dpcm)`. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`

________________________________________________________________________________________

$\color{red}{+)(ab+bc+ca)^2\ge3abc(a+b+c)}$ 

`⇔(ab+bc+ca)^2\ge3(abc.a +abc.b+abc.c)`

`⇔(ab+bc+ca)^2\ge3(ab.ac +ab.bc+ac.bc)`

Đặt `ab=x, bc=y,ca=z`

`⇒(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)`

Đến đây quay về bài toán trên đã chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`

Vậy `(ab+bc+ca)^2\ge3abc(a+b+c)(dpcm).` Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`