Đáp án + Giải thích các bước giải:

 a/ Xét $\Delta ABC$, ta có:

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow MN // BC$

Xét tứ giác BMNC, có MN // BC

$\Rightarrow BMNC$ là hình thang

b/ 

Ta có: $MN // BC$

$\Rightarrow MN // BP (P \in BC)$

Xét $\Delta ABC$, ta có:

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow MN = \frac{1}{2} BC$

Mà $BP = \frac{1}{2} BC$ (P là trung điểm của BC)

$\Rightarrow MN = BP$

Xét tứ giác BMNP, ta có:

$MN // BP (cmt)$

$MN = BP (cmt)$

$\Rightarrow BMNP$ là hình bình hành

c/ Ta có:

Xét $\Delta ABC$, ta có:

M là trung điểm của AB

P là trung điểm của BC

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow MP = \frac{1}{2} AC, MP // AC$

Mà $AN = \frac{1}{2} AC$ (N là trung điểm của AC)

$\Rightarrow MP = AN$

Ta có: $MP // AC$

$\Rightarrow MP // AN (N \in AC)$

Xét tứ giác AMPN, ta có:

$MP = AN (cmt)$
$MP // AN (cmt)$

$\Rightarrow AMPN$ là hình bình hành

Mà $\widehat {A} = 90^o (gt)$

$\Rightarrow AMPN$ là hình chữ nhật

d/ Xét tứ giác APCQ, ta có:

N là trung điểm của AC (gt)

N là trung điểm của PQ (P đối xứng với Q qua N)

AC cắt PQ tại N

$\Rightarrow APCQ$ là hình bình hành