Đáp án:

$\begin{array}{l}
{x^2} + \sqrt {5 + 4x - {x^2}}  = 4x + m - 103\\
Dkxd:5 + 4x - {x^2} \ge 0\\
 \Rightarrow {x^2} - 4x - 5 \le 0\\
 \Rightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0\\
 \Rightarrow  - 1 \le x \le 5\\
\text{Đặt}:\sqrt {5 + 4x - {x^2}}  = t\left( {t \ge 0} \right)\\
Pt \Rightarrow {x^2} - 4x - 5 + \sqrt {5 + 4x - {x^2}}  - m + 108 = 0\\
 \Rightarrow  - {t^2} + t - m + 108 = 0\\
 \Rightarrow {t^2} - t + m - 108 = 0\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  \ge 0\\
\dfrac{{ - b}}{a} > 0\\
\dfrac{c}{a} > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - 4\left( {m - 108} \right) \ge 0\\
1 > 0\\
m - 108 > 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - 4m + 432 \ge 0\\
m > 108
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le \dfrac{{433}}{4}\\
m > 108
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow 108 < m \le \dfrac{{433}}{4}
\end{array}$

Đáp án: $ 102 ≤ m ≤ \frac{433}{4}$

Giải thích các bước giải:

Điều kiện $ 5 + 4x - x² ≥ 0 ⇔ - 5 ≤ x ≤ - 1 $.

Đặt $ : t = \sqrt[]{5 + 4x - x²}$

$ PT ⇔ t² - t + m - 108 = 0 (1)$

Ta có $: 5 + 4x - x² = 9 - (x - 2)² ≤ 9 ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 (2)$

Cần xác định $m$ để $(1)$ có nghiệm thỏa $(2)$

$ Δ = (-1)² - 4(m - 108) = 433 - 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ \frac{433}{4}(3)$

$ t_{1} + t_{2} = 1 > 0 ; t_{1}t_{2} = m - 108$

@ Nếu $ m ≥ 108 ⇔ m - 108 ≥ 0 ⇔ t_{1}t_{2} ≥ 0 $

$ ⇒ 0 ≤ t_{1} < t_{2} < 3 $ thỏa $(2)$

Kết hợp $(3) ⇒ 108 ≤ m ≤ \frac{433}{4}$ là nghiệm bài toán

@ Nếu $ m < 108 ⇔ m - 108 < 0 ⇒  t_{1} < 0 < t_{2} $

Đặt $f(t) = t² - t + m - 108 $

$ 0 < t_{2} < 3 ⇔ f(0) < 0; f(3) ≥ 0$

@ $f(0) = m - 108 < 0 ⇔ m <  108$

@ $f(3) = 3² - 3 + m - 108 = m - 102 ≥ 0 ⇔ m ≥ 102$

$ ⇔ 102 ≤ m < 108$

Kết hợp lại nghiệm bài toán là $: 102 ≤ m ≤ \frac{433}{4}$