a) Ta có: $ΔABC$ cân tại $A$ $(gt)$

$AH\perp BC$ $(gt)$

$\Rightarrow HB = HC$

mà $HA = MC$ $(gt)$

$\Rightarrow MH$ là đường trung bình

$\Rightarrow MH//AB; \, MH=\dfrac{AB}{2}$

$\Rightarrow AMHB$ là hình thang đáy $MH, AB$

b) Ta có: $ME = MH$ $(gt)$

$MA = MC = MH$ ($M$ là trung điểm cạnh huyền $AC$)

$\Rightarrow MA = ME = MC = MH$

$\Rightarrow AECH$ là hình chữ nhật

c) Ta có: $HN//AC \, (gt)$

$HB = HC$

$\Rightarrow HN$ là đường trung bình

$\Rightarrow HN = \dfrac{AC}{2} = MC$

Xét tứ giác $HCMN$ có:

$HN//MC$

$HN = MC$

Do đó $HCMN$ là hình bình hành

d) Ta có: $HN = MC$

$\Rightarrow HN = MH = MA$ $(1)$

Do $HN$ là đường trung bình

nên $NB = NA = \dfrac{AB}{2}$

Ta lại có: $HM = \dfrac{AB}{2}$

$\Rightarrow HM = NB = NA$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow MA = MH = NA = NH$

$\Rightarrow ANHM$ là hình thoi