a) Ta có: $G$ là trọng tâm $ΔABC$ $(gt)$

$\Rightarrow OG = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}R$

$\Rightarrow$ Khi $A$ đi chuyển, $G$ di chuyển trên $\left(O;\dfrac{1}{3}R\right)$

b) Ta có: $AB + AC = \sqrt{(AB + AC)^2} \leq \sqrt{2(AB^2 + AC^2)} = BC\sqrt{2}$

$\Rightarrow P_{ABC} = AB + AC + BC \leq BC\sqrt{2} + BC = BC(1 + \sqrt{2}) = 2R(1 + \sqrt{2})$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AB = AC \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn

ii) Từ $A$ kẻ đường cao $AH$ $(H \in BC)$

Ta có: $AH \leq AO$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC \leq \dfrac{1}{2}AO.BC = \dfrac{1}{2}R^3$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AH = AO = R \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn

iii) Ta có: $S_{OIAJ} = AI.AJ = \dfrac{AB}{2}.{AC}{2} = \dfrac{S_{ABC}}{2}$

$S_{OIAJ}$ lớn nhất $\Leftrightarrow S_{ABC}$ lớn nhất

$\Leftrightarrow maxS_{OIAJ} = \dfrac{1}{2}R^3 \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn (Theo câu ii)

iv) Gọi $M$ là trung điểm $DE$

Ta có: $BCED$ là hình thang vuông tại $B, C$

$OB = OC = R$

$MD = ME$ (cách dựng)

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình

$\Rightarrow OM//BD//CE; \, OM\perp BC$

$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}(BD + CE)$

$\Rightarrow S_{BDEC} = \dfrac{1}{2}(BD + CE).BC = OM.BC$

$\Rightarrow S_{BDEC}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM$ nhỏ nhất

Ta có: $OM \geq OA$

$\Rightarrow OM_{min} = OA = R$

$\Rightarrow OA\perp BC$

$\Rightarrow minS_{BDEC} = OA.BC = R^3 \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn