a) Xét tứ giác $BCEF$ có:

$\widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^o$

$\Rightarrow BCEF$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{CFE} = \widehat{CBE}$ $(1)$

Xét tứ giác $ACDF$ có:

$\widehat{AFC} = \widehat{ADC} = 90^o$

$\Rightarrow ACDF$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{CAD} = \widehat{CFD}$ $(2)$

Ta lại có: $\widehat{CBE} = \widehat{CAD}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$ $(3)$

Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow \widehat{CFE} = \widehat{CFD}$

$\Rightarrow FC$ là phân giác của $\widehat{DFE}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$EB$ là phân giác của $\widehat{FED}$

$AD$ là phân giác của $\widehat{FDE}$

$FC, EB, AD$ cắt nhau tại $H$ $(gt)$

$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔDEF$

b) Ta có: $BCEF$ là tứ giác nội tiếp

$\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^o$

$\Rightarrow BC$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$

$\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$

Ta lại có: $I$ là trung điểm dây cung $EF$

$\Rightarrow MI\perp EF$

$\Rightarrow MI$ là trung trực của $EF$

Chứng minh tương tự, ta được: $PK$ là trung trực của $ED$

$NQ$ là trung trực của $FD$

$\Rightarrow MI, NQ, PK$ đồng quy