a,

Khi $M$ nằm trên $AC$ thì: $MA+MC=AC$

Khi $M$ không nằm trên $AC$ thì: $MA+MC\ge AC$ (BĐT $\Delta$)

Kết hợp lại ta được: $MA+MC\ge AC$

$MA^2+MC^2=\dfrac{MA^2 + 2 . MA . MC + MC^2 + MA^2 - 2 . MA . MC +MC^2}{2}=\dfrac{(MA+MC)^2 + (MA-MC)^2}{2}=\dfrac{(MA+MC)^2}{2}+\dfrac{(MA-MC)^2}{2}$

Do: $\dfrac{(MA-MC)^2}{2}\ge 0$

$\to MA^2+MC^2\ge \dfrac{(MA+MC)^2}{2}$ mà $MA+MC\ge AC$

$\to MA^2+MC^2\ge \dfrac{AC^2}{2}$

Tương tự: $MB^2+MD^2\ge \dfrac{BD^2}{2}$

$\to MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\ge \dfrac{2+2}{2}=2$

Dấu "$=$" xảy ra khi: $M$ là giao của $AC,BD$

$\to M$ là tâm hình vuông $ABCD$

b,

Từ $M$ kẻ $MV\bot BC(V\in BC)$

$\to BNMV$ là hình chữ nhật $\to NB=MV$

$\Delta ANM$ vuông cân tại $N$ có $NO$ là đường trung tuyến nên:

$NO=\dfrac{1}{2}AM\to AM=2NO\to AM^2=4ON^2\\AN^2+MN^2=AM^2\\\to 2MN^2=AM^2\\\to 2MN^2=4ON^2\\\to \dfrac{ON^2}{MN^2}=\dfrac{1}{2}$

Tương tự: $\dfrac{MV^2}{MC^2}=\dfrac{1}{2}\to \dfrac{NB^2}{MC^2}=\dfrac{1}{2}$

$\to \dfrac{ON^2}{MN^2}=\dfrac{BN^2}{MC^2}\to \dfrac{ON}{MN}=\dfrac{NB}{MC}\\\to \Delta ONB\backsim \Delta NMC (c.g.c)\\\to \dfrac{OB}{NC}=\dfrac{ON}{MN}\\\to \dfrac{OB^2}{NC^2}=\dfrac{ON^2}{MN^2}=\dfrac{1}{2}\\\to CN^2=2OB^2$