Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH, gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H lên cạnh AB, AC. Chứng minh a) ΔMHA ∼ ΔHBA b) AM.AB = AN.AC c) Gọi I là tr
Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH, gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H lên cạnh AB, AC. Chứng minh a) ΔMHA ∼ ΔHBA b) AM.AB = AN.AC c) Gọi I là trung điểm của AH. Tìm điều kiện của tam giác ABC để M; I; N thẳng hàng.
Lời giải 1 :
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`a) AH` là đường cao của `\DeltaABC`
`=>AH⊥BC`
`=>\hat{AHB}=90^o`
`M` là hình chiếu của `H` trên `AB`
`=>HM⊥AB`
`=>\hat{HMB}=90^o`
Xét `\DeltaMHA` và `\DeltaHBA`, có:
` \hat{AHB}=\hat{HMA}=90^o`
`hat{BAH}` chung
`=>\DeltaMHA~\DeltaHBA` (g.g)
`b) AH` là đường cao của `\DeltaABC`
`=>AH⊥BC`
`=>\hat{AHC}=90^o`
`N` là hình chiếu của `H` trên `AC`
`=>HN⊥AC`
`=>\hat{HNC}=90^o`
Xét `\DeltaNHA` và `\DeltaHCA`, có:
` \hat{AHC}=\hat{HNA}=90^o`
`hat{CAH}` chung
`=>\DeltaNHA~\DeltaHCA` (g.g)
`=>[AN]/[AH]=[AH]/[AC]` (cạnh tương ứng)
`=>AH^2=AN.AC (1)`
`\DeltaMHA~\DeltaHBA` (cmt)
`=>[AH]/[AB]=[AM]/[AH]` (cạnh tương ứng)
`=>AH^2=AM.AB (2)`
Từ `(1)` và `(2)` `=>AM.AB=AN.AC`
`c)\DeltaAMH` vuông tại `M` ,có `I` là trung điểm `AH`
`=>IA=IM=IH` (Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
`=>\DeltaAIM` cân tại `I`
`=>\hat{IAM}=\hat{IMA}`
`=>\hat{MIH}=\hat{IAM}+\hat{IMA} (3)`
`\DeltaANH` vuông tại `N` ,có `I` là trung điểm `AH`
`=>IA=IN=IH` (Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
`=>\DeltaAIN` cân tại `I`
`=>\hat{IAN}=\hat{INA}`
`=>\hat{NIH}=\hat{IAM}+\hat{IMA} (4)`
Từ `(3)` và `(4)`, cộng vế ta có:
`\hat{MIH}+\hat{NIH}=2.(\hat{IAM}+\hat{IMA})`
Ta có: `M,I,N` thẳng hàng khi `\hat{MIH}+\hat{NIH}=180^o`
`=>2(\hat{IAM}+\hat{IMA})=180^o`
`=>\hat{IAM}+\hat{IMA}=90^o`
`=>\hat{MAN}=90^o`
Hay `\DeltaABC` vuông tại `A`
Vậy để `3` điểm `M,I,N` thẳng hàng thì cần thêm điều kiện `\DeltaABC` vuông tại `A`.
Thảo luận
Lời giải 2 :
Giải thích các bước giải:
`a)`
Xét `ΔMHA` và `ΔHBA` ta có:
`hat{A}:text{góc chung}`
`hat{AMH}=hat{AHB}=90^o`
$\Rightarrow ΔMHA\backsimΔHBA(g-g)(\text{ĐPCM})$
`b)`
Trong `ΔAHN` vuông tại `H` ta có:
`hat{AHN}+hat{HAN}=90^o`
Trong `ΔAHC` vuông tại `H` ta có:
`hat{HCA}+hat{HAN}=90^o`
`=>hat{AHN}=hat{HCA}`
Xét `ΔAHN` và `ΔACH` ta có:
`hat{ANH}=hat{AHC}=90^o`
`hat{AHN}=hat{ACH}(cmt)`
`=>ΔAHN` $\backsim$ `ΔACH(g-g)`
`=>(AH)/(AC)=(AN)/(AH)`
`=>AN.AC=AH^2(1)`
`ΔMHA` $\backsim$ `ΔHBA(cmt)`
`=>(AM)/(AH)=(AH)/(AB)`
`=>AM.AB=AH^2(2)`
Từ `1` và `2`
`=>AM.AB=AN.AC(text{ĐPCM})`
`c)`
Giả sử `M;I;N` thẳng hàng
`ΔANH` vuông tại `N`
Mà `I` là trung điểm của `AH`
`=>NI` là đường trung tuyến mà `ΔANH` vuông tại `N`
`=>NI=(AH)/2=AI`
`=>ΔAIN` cân tại `I`
`=>AI=IN`
`ΔAMH` vuông tại `M`
`I` là trung điểm của `AH`
`=>` `MI` là đường trung tuyến mà `ΔAMH` vuông tại `M`
`=>MI=(AH)/2=AI`
`=>ΔAIM` cân tại `I`
`=>AI=IM` mà `AI=IN`
`=>IM=IN`
`=>I` là trung điểm của `MN`
Xét tứ giác `AMHN` ta có:
Hai đường chéo `MN` và `AH` cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
`=>` Tứ giác `AMHN` là hình bình hành
Mà `hat{AMH}=90^o(text{M là hình chiếu của điểm H trên AB})`
`=>` Tứ giác `AMHN` là hình chữ nhật
`=>hat{MAN}=90^o` hay `hat{BAC}=90^o`
`=>ΔABC` vuông tại `A`
Vậy để `M;I;N` thẳng hàng thì `ΔABC` vuông tại `A`
Có thể bạn quan tâm
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự 8
Lớp 8 - Năm thứ ba ở cấp trung học cơ sở, học tập bắt đầu nặng dần, sang năm lại là năm cuối cấp áp lực lớn dần nhưng các em vẫn phải chú ý sức khỏe nhé!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK