Bài 27:

$1)$ Xét $ΔDAC$ có: $EA = ED \, (gt)$

$IA = IC\, (gt)$

$\Rightarrow IE$ là đường trung bình

$\Rightarrow IE//CD; \, IE = \dfrac{CD}{2}$

Lập luận tương tự với $ΔBCA$ có $IF$ là đường trung bình

$\Rightarrow IF//AB; \, IF = \dfrac{AB}{2}$

$2)$ Xét $ΔIEF$ luôn có:

$IE + IF \geq EF$

$\Leftrightarrow \dfrac{CD}{2} + \dfrac{AB}{2} \geq EF$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB+CD}{2} \geq EF$

Bài toán 5:

Xét $ΔABC$ có:

$AE = EB \, (gt)$

$AD = DC \, (gt)$

$\Rightarrow ED$ là đường trung bình

$\Rightarrow ED//BC; \, ED=\dfrac{BC}{2}$

Xét tứ giác $BEDC$ có:

$IE = IB \, (gt)$

$KD = KC \, (gt)$

$ED//BC \, (cmt)$

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình

$\Rightarrow IK//ED//BC;\, IK = \dfrac{ED+BC}{2} = \dfrac{3}{4}BC$

Xét $ΔBED$ có:

$IE = IB \, (gt)$

$IM//ED \, (IK//ED//BC)$

$\Rightarrow IM$ là đường trung bình

$\Rightarrow IM = \dfrac{ED}{2} = \dfrac{BC}{4}$ $(1)$

Xét $ΔCED$ có:

$KD = KC \, (gt)$

$KN//ED \, (IK//ED//BC)$

$\Rightarrow NK$ là đường trunh bình

$\Rightarrow NK = \dfrac{ED}{2} = \dfrac{BC}{4}$ $(2)$

Ta được: $MN = IK - IM - KN = \dfrac{3}{4}BC - \dfrac{BC}{4} - \dfrac{BC}{4} = \dfrac{BC}{4}$ $(3)$

Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow IM = MN = NK$