Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta thấy: `n+3;n+11 > 2` mà `n+3;n+11` là số nguyên tố `=> n+3; n+11` luôn là lẻ.

Mà `3;11` là lẻ

`=> n` là chẵn

`TH1: n=0`

`=> n+1 = 1 (1` không là số nguyên tố`) ->` loại

`TH2: n = 2`

`=> n+1 = 3(tm)`

`=> n+3 = 5 (tm)`

`=> n+11 = 13 (tm)`

`TH3: n > 3 => n = 3k;3k+1;3k+2 (k > 0; k in NN)`

Với `n = 3k` thì `n+3 vdots 3(n+3 > 3) (ktm)`

Với `n = 3k + 1` thì `n + 11 vdots 3 (n+11 > 3 (ktm)`

Với `n = 3k + 2` thì `n+1 vdots 3 (n+1 > 3) (ktm)`

Vậy chỉ có `n = 2` thỏa mãn đề bài.

+) Nếu `n=0`

`=> n + 1 = 0+1 = 1` không là số nguyên tố (Loại)

+) Nếu `n=1`

`=> n+3 = 1 + 3 = 4` là hợp số (Loại)

+) Nếu `n=2`

`=> n+1 = 2 + 1 = 3` là số nguyên tố

`n+ 3 = 2 + 3 = 5` là số nguyên tố

`n+11 = 2 + 11 = 13` là số nguyên tố

`=> n = 2` thỏa mãn đề bài.

+) Nếu `n=3`

`=> n + 1 = 3 + 1 = 4`  là hợp số (Loại)

+) Nếu `n>3`

Mà `n∈N`

`=> n` có dạng `3k, 3k+1, 3k+2 (k ∈ N`*)

+) Nếu `n=3k (k∈N`*)

`=> n + 3 = 3k + 3 = 3(k+1)` chia hết cho 3

Mà `1<3<n+3`

`=> n + 3` là hợp số. (Loại)

+) Nếu `n = 3k + 1 (k∈N`*)

`=> n + 11 = 3k + 1 + 11 = 3k + 12 = 3(k+4)` chia hết cho 3.

Mà `1<3<n+11`

`=> n+11` là hợp số (Loại)

+) Nếu `n = 3k+ 2 (k∈N`*)

`=> n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k+ 3 = 3(k+1)` chia hết cho 3.

Mà `1<3<n+1`

`=> n + 1` là hợp số (Loại)

Vậy `n = 2` thì `n+1, n + 3 , n + 11` đều là số nguyên tố.