Đáp án: $a)k^2$

             $b)50cm;32cm$

Giải thích các bước giải:

Xét bài toán trên $ΔABC$ vuông tại A, đường cao $AH$, $AB<AC$

$⇒BH;CH$ lần lượt là hình chiếu của $AB;AC$ trên cạnh huyền BC$

a) Giả sử `\frac{AB}{AC}=k`

Xét $ΔABC$ vuông tại A, đường cao $AH$

$⇒AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC$

`⇒\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.BC}`

`⇒\frac{BH}{CH}=(\frac{AB}{AC})^2=k^2`

Vậy tỉ số các hình chiếu tương ứng của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền là $k^2$

b) Theo giả thiết, ta có $AB<AC$

`⇒\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}`

`⇒\frac{BH}{CH}=(\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}`

`⇒\frac{BH}{16}=\frac{CH}{25}`

Do độ dài cạnh huyền là $82cm$

$⇒BC=82⇒BH+CH=82$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

`\frac{BH}{16}=\frac{CH}{25}=\frac{BH+CH}{16+25}=\frac{82}{41}=2`

Từ `\frac{BH}{16}=2⇒BH=32`

     `\frac{CH}{25}=2⇒CH=50`

Vậy độ dài hình chiếu tương ứng của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền đó là $50cm;32cm$