Giải thích các bước giải:

a,

CE là tiếp tuyến tại C của đường tròn nên  CE⊥CO

Tam giác CEO vuông tại C có đường cao CI nên ta có:

\(C{O^2} = OI.OE \Rightarrow OE = \frac{{O{C^2}}}{{OI}} = \frac{{{3^2}}}{2} = \frac{9}{2}\)

\(C{I^2} = EI.IO = \left( {OE - OI} \right).OI = \frac{5}{2}.2 = 5 \Rightarrow CI = \sqrt 5 \)

Tam giác OCD cân tại O có OI⊥CD nên I là trung điểm CD\( \Rightarrow CD = 2CI = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\)

b,

Tam giác OCD cân tại O nên OI là trung trực của CD

E nằm trên trung trực của CD nên EC=ED

Do đó, tam giác EDC cân tại E

Ta có:  ΔECO=ΔEDO (c.c.c) ⇒ ∠ECO= ∠EDO

Suy ra ED⊥DO hay ED là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c,

Tam giác OCD cân tại O nên OA chính là phân giác của góc COD

∠COA=∠DOA ⇒ sđ AC= sđ AD

Ta có:

∠ACD=1/2 sdAD

EC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ∠ECA=1/2 sđ AC

Suy ra ∠ACD=∠ECA hay CA là phân giác cưa góc DCE

Tam giác ECD cân tại E nên đường trung trực EI cũng là đường phân giác góc CED

A là giao điểm 2 đường phân giác CA và EI nên A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEC

d,

Ta có:

\(\begin{array}{l}
BI = IO + OB = 5\left( {cm} \right);\,\,AI = 1\left( {cm} \right)\\
OE = \frac{9}{2}\left( {cm} \right) \Rightarrow AE = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}\left( {cm} \right)\\
BE = AE + AB = \frac{3}{2} + 6 = \frac{{15}}{2}\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow \frac{{BI}}{{AI}} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow BI.AE = BE.AI
\end{array}\)