Lời giải:

a, GT: `\triangleABC` cân tại `A (\hat{A} < 90^o) BH \bot AC, CK \bot AB. I` là giao điểm của `BH` và `CK`

    KL: Chứng minh:

         `b, \triangleAHB = \triangleAKC`, so sánh `AK` và `AH`

         `c, AI` là tia phân giác của `\hat{BAC}`

b, Vì `\triangleABC` cân tại `A`

`=> AB = AC`

Xét `\triangleAHB \bot` tại `H` và `\triangleAKC \bot` tại `K` có:

`AB = AC`

`\hat{BAC}` chung

`=> \triangleAHB = \triangleAKC` (Cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AH = AK` (Hai cạnh tương ứng)

c, Xét `\triangleAIH \bot` tại `H` và `\triangleAIK \bot` tại `K` có:

`AH = AK (cmt)`

`AI` là cạnh chung

`=> \triangleAIH = \triangleAIK` (Cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`=> \hat{IAH} = \hat{IAK}` (Hai góc tương ứng)

`=> AI` là tia phân giác của `\hat{HAK}` hay

`AI` là tia phân giác của `\hat{BAC}`

d, Ta thấy:

`AC = AH + CH`

`AC = 4 + 1`

`AC = 5`

`=> AB = 5` 

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông `AHB` có:

`AB^2 = AH^2 + BH^2`

`5^2 = 4^2 + BH^2`

`25 = 16 + BH^2`

`BH^2 = 25 - 16`

`BH^2 = 9`

`BH = 3`

Vậy `BH = 3 (cm)`

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông `HBC` có:

`BC^2 = BH^2 + CH^2`

`BC^2 = 3^2 + 1^2`

`BC^2 = 9 + 1`

`BC^2 = 10`

`BC = \sqrt{10}`

Vậy `BC = \sqrt{10} (cm)`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`b)`

$-$ $Xét$ `\triangleAHB` $và$ `\triangleAKC` $có$ : 

   `\hat{AHB} = \hat{AKC} ( = 90^o )`

   `AB = AC ( \triangleABC` $\text{cân tại A ) }$

   `\hat{A}` $\text{ là góc chung }$

$\text{ Suy ra : }$ `\triangleAHB = \triangleAKC` $\text{ ( cạnh huyền - góc nhọn ) }$

`=> AH = AK` $\text{ ( 2 cạnh tương ứng ) }$

`c)`

$-$ $Xét$ `\triangleAKI` $và$ `\triangleAHI` $có$ : 

   `\hat{AKI} = \hat{AHI} ( = 90^o ) `

   `AK = AH ( cmt ) `

  $\text{ AI là cạnh chung }$

$\text{ Suy ra : }$ `\triangleAKI = \triangleAHI` $\text{ ( cạnh huyền - cạnh góc vuông ) }$

`=> \hat{AIK} = \hat{AIH}` $\text{ ( 2 góc tương ứng ) }$

`=>` $\text{ AI là tia phân giác của }$ `\hat{HAK}`

$\text{ hay AI là tia phân giác của }$ `\hat{BAC}        ( đpcm )`

`d)`

$\text{ Ta có : }$
`AB = AC = AH + HC = 4 + 1 = 5 ( cm ) `

$\text{ Áp dụng định lí Py - ta - go vào }$ `\triangleABH` $\text{ vuông tại H có : }$

              `AB^2 = AH^2 + BH^2 `

        `<=> 5^2 = 4^2 + BH^2 `

        `<=> 25 = 16 + BH^2`

        `<=> BH^2 = 25 - 16 `

        `<=> BH^2 = 9 `

        `<=> BH = 3 ( cm ) `

$\text{ Áp dụng định lí Py - ta - go vào }$ `\triangleBHC` $\text{ vuông tại H có : }$ 

              `BC^2 = BH^2 + HC^2`

        `<=> BC^2 = 3^2 + 1^2 `

        `<=> BC^2 = 9 + 1`

        `<=> BC^2 = 10 `

        `<=> BC = \sqrt{10} ( cm ) `

     $Vậy$ `BC = \sqrt{10} cm `