a) Xét $ΔBHI$ và $ΔCKI$:

$IB=IC$ (I là trung điểm $BC$)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (ΔABC cân tại A)

$\widehat{BHI}=\widehat{CKI}=90^o$

⇒ $ΔBHI=ΔCKI$ (cạnh huyền-góc nhọn)

b) $ΔBHI=ΔCKI$

⇒ $IK=IH$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $ΔBHI$ vuông tại $H$:

$IB>IH$ (cạnh huyền>cạnh góc vuông)

⇒ $IB>IK$

c) $ΔBHI=ΔCKI$

⇒ $BH=CK$ mà $AB=AC$

⇒ $AB-BH=AC-CK$ hay $AH=AK$

⇒ $ΔAHK$ cân tại $A$

Xét $ΔABC$ cân tại $A$:

mà $AI$ là trung tuyến (I là trung điểm BC)

⇒ $AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

mà $ΔAHK$ cân tại $A$

⇒ $AI$ là trung trực $HK$

d) Xét $ΔHIE$ và $ΔKIF$:

$\widehat{EHI}=\widehat{CKI}=90^o$

$HI=KI(cmt)$

$\widehat{HIE}=\widehat{KIF}$ (đối đỉnh)

⇒ $ΔHIE=ΔKIF(g-c-g)$

⇒ $HE=KF$ mà $AH=AK$

⇒ $AH+HE=EK+AK$ hay $AE=AF$

⇒ $ΔAEF$ cân tại $A$

⇒ $\widehat{AEF}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}$

lại có: $ΔAHK$ cân tại $A$

⇒ $\widehat{AHK}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}$

⇒ $\widehat{AEF}=\widehat{AHK}$ mà 2 góc ở vị trí đồng vị

⇒ $HK//EF$

Giải thích các bước giải:

a, `ΔABC` cân tại `A ⇒ \hat{ABC}=\hat{ACB}`

Xét `ΔBHI` và `ΔCKI` có:

      `\hat{BHI}=\hat{CKI}=90^o`

       `BI=CI(g t)`

       `\hat{HBI}=\hat{KCI}(cmt)`

`⇒ ΔBHI=ΔCKI(CH-GN)`

b, `ΔBHI=ΔCKI(cmt)`

`=> IH = IK` (2 cạnh tương ứng)

Lại có: `IH < IB` (do `ΔBHI` vuông tại `H`)

`=> IK < IB`

c, `ΔBHI=ΔCKI(cmt)`

`=> BH=CK` (2 cạnh tương ứng)

Lại có: `AB = AC` (do `ΔABC` cân tại `A`)

`⇒ AB - BH = AC - CK`

`=> AH = AK`

Mặt khác, lại có: `IH  = IK (cmt)`

`=> AI` là đường trung trực của `HK`

d, Xét `ΔEIH` và `ΔFIK` có:

          `\hat{IHE}=\hat{IKF}=90^o`

          `IH = IK(cmt)`

          `\hat{EIH}=\hat{FIK}` (2 góc đối đỉnh)

`=> ΔEIH = ΔFIK (g.c.g)`

`=> EH = FK` (2 cạnh tương ứng)

Lại có: `AH = AK(cmt)`

`=> AH + EH = AK + FK`

`=> AE = AF`

`=> ΔAEF` cân tại `A ⇒ \hat{AFE} = (180^o - \hat{EAF})/2` 

mà: `\hat{AKH} = (180^o - \hat{HAK})/2` (do `ΔAHK` cân tại `A`)

`=> \hat{AFE}=\hat{AKH}`

mà `2` góc này ở vị trí đồng vị $⇒ HK//EF$