a, Cho p và p+4 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh p+8 là hợp số.

Do p là số nguyên tố > 3

⇒ p = 6k + 1 (k thuộc N)

      p = 6k + 5 (k thuộc N)                                                                                                                       

+) Với p = 6k + 5 thì:

p + 4 = (6k + 5) + 4 = 6k +9 chia hết cho 3 (Loại - Do p + 4 là số nguyên tố)                     

⇒ p = 6k + 1. Vậy khi đó:

p + 8 = (6k +1) + 8 = 6k + 9 chia hết cho 3 (Thỏa mãn p + 8 là hớp số)

⇒ Đpcm. 

b, Chứng minh rằng: Nếu(d + 2c + 4b )thì abcd chia hết cho 8.

abcd = a . 1000 + b . 100 + c . 10 + d

= 1000a + 96b + 8c + (d + 2c + 4b)

Ta có:

1000a = 8 . 125 . a chia hết cho 8

96b = 8 . 12 . b chia hết cho 8

8c = 8 . 1 . c  chia hết cho 8

d + 2c + 4b chia hết cho 8

⇒ a . 1000 + b . 100 + c . 10 + d chia hết cho 8

⇒ abcd chia hết cho 8

Vậy: Nếu d + 2c + 4b chia hết cho 8 thì abcd chia hết cho 8

⇒ Đpcm

Đáp án:

 Dưới

Giải thích các bước giải:

 Vì $p$ và $p+4$ là số nguyên tố lớn hơn $3 $

$⇒p$ có dạng ${3k+1,3k+2}$

Xét $p=3k+1$

$⇒p+4=3k+1+4=3k+5$ (Nguyên tố thoả mãn) 

$⇒p+8=3k+1+8$

$=3k+9 \vdots 3$ (Hợp số thỏa mãn ) 

Vậy đpcm(Điều phải chứng minh)

Xét $p=3k+2$

$⇒p+4=3k+2+4=3k+6$ \vdots 3 (Hợp số loại)

$⇒p+8=3k+2+8=3k+10$ (Nguyên tố loại)

Vậy để $p+8$ là hợp số thì $p=3k+1$

b) Phân tích:$abcd$

$=1000a+100b+10c+d$

$=1000a+96b+4b+8c+2c+d$

$=1000a+96b+8c+(4b+2c+d)$

Vì \(\left[ \begin{array}{l}1000a \vdots 8\\96b \vdots 8\\8c\vdots 8\\(4b+2c+d)\vdots 8 \text{Theo đề bài}\end{array} \right.\) 

$⇒abcd \vdots 8 $

Vậy đpcm(Điều phải chứng minh)