Bài 1:

Ta có:

$sin\widehat{B} = \dfrac{AH}{AB}$

$\Rightarrow AB = \dfrac{AH}{sin\widehat{B}} = \dfrac{5}{sin35^o} \approx 8,72 \,cm$

$sin\widehat{C} =\dfrac{AH}{AC}$

$\Rightarrow AC = \dfrac{AH}{sin\widehat{C}} = \dfrac{5}{sin50^o} \approx 6,53\, cm$

$BC = BH + CH$

$= \dfrac{AB}{tan\widehat{B}} + \dfrac{AH}{tan\widehat{C}} = 5.\left(\dfrac{1}{tan35^o} + \dfrac{1}{tan50^o}\right)\approx 11,34 \, cm$

 Bài 2:

Áp dụng định lý $cosin$ ta được:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB.BC.cos\widehat{B}$

Đặt $BC = x \, (x > 0)$ ta được:

$11^2 = 14^2 + x^2 - 28x.cos40^o$

$\Leftrightarrow x^2 - 28x.0,766 + 14^2 - 11^2 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 21,448x + 75 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x= 3,49911\\x = 17,0489\end{array}\right.$

Bài 3:

Ta có:

$tanB = \dfrac{AD}{BD}$

$tanC = \dfrac{AD}{DC}$

$\Rightarrow tanB.tanC = \dfrac{AD^2}{BD.DC}$ $(*)$

Xét $∆BHD$ và $∆ACD$ có:

$\widehat{BHD} = \widehat{AHC} = 90^o$

$\widehat{HBD} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

Do đó $∆BHD\sim ∆ACD \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{HD}{DC}$

$\Rightarrow BD.DC = AD.HD$

Thay vào $(*)$ ta được:

$tanB.tanC = \dfrac{AD^2}{AD.HD} = \dfrac{AD}{HD}$

Ta lại có: $HD:HA= 1:2$

$\Rightarrow HD:AD= 1:3$

$\Rightarrow AD = 3HD$

Vậy $tanB.tanC = \dfrac{3HD}{HD} = 3$

Đáp án:

Bài 1:

Ta có:

sinˆB=AHABsinB^=AHAB

⇒AB=AHsinˆB=5sin35o≈8,72cm⇒AB=AHsinB^=5sin35o≈8,72cm

sinˆC=AHACsinC^=AHAC

⇒AC=AHsinˆC=5sin50o≈6,53cm⇒AC=AHsinC^=5sin50o≈6,53cm

BC=BH+CHBC=BH+CH

=ABtanˆB+AHtanˆC=5.(1tan35o+1tan50o)≈11,34cm=ABtanB^+AHtanC^=5.(1tan35o+1tan50o)≈11,34cm

 Bài 2:

Áp dụng định lý cosincosin ta được:

AC2=AB2+BC2−2AB.BC.cosˆBAC2=AB2+BC2−2AB.BC.cosB^

Đặt BC=x(x>0)BC=x(x>0) ta được:

112=142+x2−28x.cos40o112=142+x2−28x.cos40o

⇔x2−28x.0,766+142−112=0⇔x2−28x.0,766+142−112=0

⇔x2−21,448x+75=0⇔x2−21,448x+75=0

⇔[x=3,49911x=17,0489⇔[x=3,49911x=17,0489

Bài 3:

Ta có:

tanB=ADBDtanB=ADBD

tanC=ADDCtanC=ADDC

⇒tanB.tanC=AD2BD.DC⇒tanB.tanC=AD2BD.DC (∗)(∗)

Xét ΔBHD∆BHD và ΔACD∆ACD có:

ˆBHD=ˆAHC=90oBHD^=AHC^=90o

ˆHBD=ˆHACHBD^=HAC^ (cùng phụ ˆACBACB^)

Do đó ΔBHD∼ΔACD(g.g)∆BHD∼∆ACD(g.g)

⇒BDAD=HDDC⇒BDAD=HDDC

⇒BD.DC=AD.HD⇒BD.DC=AD.HD

Thay vào (∗)(∗) ta được:

tanB.tanC=AD2AD.HD=ADHDtanB.tanC=AD2AD.HD=ADHD

Ta lại có: HD:HA=1:2HD:HA=1:2

⇒HD:AD=1:3⇒HD:AD=1:3

⇒AD=3HD⇒AD=3HD

Vậy tanB.tanC=3HD

                       HD=3

Giải thích các bước giải: