Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ $n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$
Do $n(n-1)$ chia hết cho 2(do 2 số tự nhiên liên tiếp)
và $n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 3 (do 3 số tự nhiên liên tiếp)
=> $n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 6
hay $n^3-n$ chia hết cho 6.
b/ $n^3+5n=n(n^2+5)=n[(n-1)(n+1)+6]=n(n-1)(n+1)+6n$
Do $n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 6 (câu a)
và 6n chia hết cho 6
=> $n(n-1)(n+1)+6n$ chia hết cho 6
hay $n^3+5n$ chia hết cho 6
c/ $n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)[(n-2)(n+2)+5]=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)$
Do $n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$ chia hết cho 5 (5 số tự nhiên liên tiếp)
và $n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 6 (câu a)
=> $n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$ chia hết cho 30 (1)
Do $n(n-1)$ chia hết cho 2 (2 số tự nhiên liên tiếp)
$n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 3 (3 số tự nhiên liên tiếp)
=> $5n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 6.5= 30 (2)
Từ (1) và (2) suy ra $n^5-n$ chia hết cho 30
d/ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ có số chia hết cho 2, 3 và 4
=> Tích 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 2.3.4=24
e/ Đặt 4 số chắn liên tiếp đó là 2k; 2k+2; 2k+4; 2k-2
Ta có: $2k. (2k+2). (2k+4).(2k-2)=16k(k+1)(k+2)(k-1)$
Do $k(k+1)$ chia hết cho 2 (2 số tự nhiên liên tiếp)
$k(k+1)(k+2)$ chia hết cho 3 (3 số tự nhiên liên tiếp)
$k(k+1)(k+2)(k-1)$ chia hết cho 4 (4 số tự nhiên liên tiếp)
=> $16k(k+1)(k+2)(k-1)$ chia hết cho 16.2.3.4=384
Vậy tích 4 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384
Chúc bạn học tốt !!!

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a. n^3-n=n(n^2-1)=n(n^2-1^2)=n(n-1)(n+1)

n(n-1)(n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp

=>n(n-1)(n+1)chia hết cho 3(1)

n(n+1) là 2 số tự nhiên liên tiếp

=>n(n+1)chia hết cho 2

 =>n(n-1)(n+1)chia hết cho 2(2)

Từ (1)(2)=>n(n-1)(n+1)chia hết cho2.3=6(đpcm)

b.n^3+5n=(n^3-n)+6n

ở câu a ta đã cm n^3-n chia hết cho 6

mà 6n chia hết cho 6

=> (n^3-n)+6n chia hết cho 6 (đpcm)

c.n^5-n=n(n^4-1)=n{[(n^2)^2]-1^2}=n(n^2-1)(n^2+1)=[n(n-1)(n+1)](n^2+1)

ở câu a ta cm n(n-1)(n+1) chia hết cho 6

th1: n chia 5 dư 0

=>n chia hết cho 5

=>[n(n-1)(n+1)](n^2+1) chia hết cho 5

th2: n chia 5 dư 1 

=>n-1 chia hết cho 5

=>[n(n-1)(n+1)](n^2+1) chia hết cho 5

th3:n chia 5 dư 2

=>n^2 chia 5 dư 4(vì 2^2=4) 

=>n^2+1 chia hết cho 5(vì dư 5 chia hết cho 5)

=>[n(n-1)(n+1)](n^2+1) chia hết cho 5

th4:n chia 5 dư 3

=>n^2 chia 5 dư 9(vì 3^2=9)

=>n^2+1 chia hết cho 5(vì dư 10 chia hết cho 5)

=>[n(n-1)(n+1)](n^2+1) chia hết cho 5

th5:n chia 5 dư 4

=>n+1 chia hết cho 5

=>[n(n-1)(n+1)](n^2+1) chia hết cho 5

vậy với mọi n thì [n(n-1)(n+1)](n^2+1) chia hết cho 5

=> [n(n-1)(n+1)](n^2+1) chia hết cho 5.6=30(đpcm)