Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. Ta có MA, MB là tiếp tuyến (O)

\(\Rightarrow MA=MB\) và MO là tia phân giác góc M

⇒ ΔMAB cân tại đỉnh M có MO là phân giác góc M nên MO cũng là đường cao

⇒MO ⊥ AB = H

⇒ ∠OHB = 90 

Ta có O là trung điểm cạnh AD 

I là trung điểm cạnh BD 

⇒ OI là đường tb ΔABD 

⇒ OI//AB mà AB ⊥ BD

⇒ OI⊥BD ⇒ ∠OIB = 90 

⇒OHBI là hình chữ nhật

2, ΔOBD cân có OI là trung tuyến nên cũng là phân giác

⇒ ∠BOK = ∠DOK 

xét ΔOBK và ΔODK ta có

OB = OD 

2 góc bằng nhau (cmt)

OK là cạnh chung

⇒ 2 tam giác trên = nhau

⇒∠KDO = ∠KBO = 90

⇒ KD⊥OD ⇒ KD là tiếp tuyến (O) tại D

3, Gọi (O)∩MO = C ⇒ OC =MC

⇒ C là trung điểm của OM

Tam giác OMA có AC là trung tuyến ứng với cạnh huyền 

⇒AC=OC=OA ⇒ΔOAC đều

⇒ AH là đường cao cũng là đường trung tuyến

\(\Rightarrow HO=\dfrac{R}{2}=IB=ID\) 

Xét tam giác ODK có 

\(\dfrac{1}{DI^2}=\dfrac{1}{DO^2}+\dfrac{1}{DK^2}\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{(\dfrac{R}{2})^2}=\dfrac{1}{R^2}+\dfrac{1}{DK^2}\)

\(\Rightarrow DK=\dfrac{R}{\sqrt3}\)

ta có Δ vuông ADK \(AK=\sqrt{AD^2+DK^2}=\sqrt{(2R)^2+(\dfrac{R}{\sqrt3})^2}\)

\(AK=\dfrac{R\sqrt{13}}{\sqrt3}\)

\(\Rightarrow P_{AKD}=AK+AD+KD=\dfrac{R\sqrt{13}}{\sqrt3}+\dfrac{R}{\sqrt3}+2R\)

4;

Do KB , KD là 2 tiếp tuyến cắt nhau 

⇒ KD = KB 

⇒ ΔKBD cân tại K

Có KI là đường trung tuyến nên KI cũng là đường cao 

⇒ KI vuông góc với BD

mà BD ⊥AB ⇒ KI//AB

I là trung điểm của BD ⇒ KI là đường tb

⇒ K là trung điểm của DQ (đpcm)