Giải thích các bước giải:

a) Tứ giác AMDN có $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAN}$ = $\widehat{AND}$ = $90^{o}$

(vì ΔABC vuông tại A và M; N lần lượt là hình chiếu của D trên AB; AC) 

⇒ Tứ giác AMDN là hình chữ nhật (đpcm)

b) ΔABC có D là trung điểm của BC; DN ║ AB(vì cùng vuông góc với AC)

⇒ N là trung điểm của AC ⇒ AN = CN mà AN = DM (vì AMDN là hình chữ nhật)

⇒ CN = DM

Tứ giác MDCN có DM║CN (vì DM║AC); DM = CN (chứng minh trên)

⇒ MDCN là hình bình hành (đpcm)

c) ΔABC có D là trung điểm của BC; DM ║ AC (vì cùng vuông góc với AB)

⇒ M là trung điểm của AB

ΔAHB vuông tại H có HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ HM = MB = MA

⇒ ΔHMB cân tại M ⇒ $\widehat{MBH}$ = $\widehat{MHB}$

MN ║ BC ⇒ $\widehat{MHB}$ = $\widehat{HMN}$ và $\widehat{MBH}$ = $\widehat{AMN}$

Suy ra: $\widehat{HMN}$ = $\widehat{AMN}$

Xét ΔMAN và ΔMHN có:

MN chung; $\widehat{AMN}$ = $\widehat{HMN}$; MA = MH

⇒ ΔMAN = ΔMHN (c.g.c)

⇒ HN = AN mà AN = MD

⇒ HN = MD

Tứ giác MHDN có MN ║ DH và HN = MD nên là hình thang cân (đpcm)

d, MA = MH, NA = NH ⇒ MN là trung trực của AH ⇒ MP ⊥ AH

ΔMAN = ΔMHN ⇒ $\widehat{MHN}$ = $\widehat{MAN}$ = $90^{o}$

⇒ MH ⊥ HN mà AP ║ MH

⇒ AP ⊥ HN

ΔHAN có AP, MP là đường cao cắt nhau tại P

⇒ P là trực tâm ⇒ HP ⊥ AN hay HP ⊥ BC (đpcm)