a) $AM$ là trung tuyến $BC$

⇒ $AM=\dfrac{1}{2}BC=BM=CM$

⇒ $ΔAMB$ cân tại $M$

    $ΔAMC$ cân tại $M$

Xét $ΔAMB$ cân tại $M$ 

mà $MD$ là đường cao $AB$

⇒ $MD$ là phân giác $AMB$

Xét $ΔABM$ cân tại $M$:

mà $ME$ là đường cao $AC$

⇒ $ME$ là phân giác $AMC$

Xét $ΔAMD$ và $ΔBMD$:

$AMD=BMD$ ($MD$ là phân giác $AMB$)

$MD$:chung

$MB=MA$ (cmt)

⇒ $ΔAMD=ΔBMD$ (c-g-c)

⇒ $BDM=ADM$ (2 góc tương ứng)

Xét $ΔAME$ và $ΔCME$:

$MA=MC$ (cmt)

$AME=CME$ ($ME$ là phân giác $AMC$)

$ME$:chung

⇒ $ΔAME=ΔCME$ (c-g-c)

⇒ $AEM=CEM$ (2 góc tương ứng)

Giả sử:

$BD∩AB≡F$

$ME∩AC≡G$

Ta có:

$MF⊥AB$, $AG⊥AB$

⇒ $MF//AG$ (1)

$MG⊥AC$, $AF⊥AC$

⇒ $MG//AF$ (2)

Từ (1), (2) ⇒ $AMFG$ là hình thang

mà $FAG=90^o$

⇒ $AMFG$ là hình chữ nhật

⇒ $DME=90^o$

⇒ $ΔDME$ vuông tại $M$

⇒ $MDE+MED=90^o$

mà $BDM=ADM$

      $AEM=CEM$

⇒ $BDM+CEM=90^o$

⇒ $BMD+ADM+AEM+CEM=90^o+90^o=180^o$

⇒ $BDE+CED=180^o$

mà 2 góc ở vị trí trong cùng phía

⇒ $BD//CE$

b) $ΔAMD=ΔBMD$

⇒ $BD=DA$

    $ΔAME=ΔCME$

⇒ $AE=CE$

mà $AD+AE=DE$

⇒ $BD+CE=DE$

Giải thích các bước giải:

a) `\hat{MAD}+\hat{MAE}=180^o` (2 góc kề bù) (1)

`ΔABC` vuông tại `A` có `AM` là đường trung tuyến

`=> AM = 1/2 BC = BM = CM`

 `AM = BM ⇒ ΔABM` cân tại `M ⇒ \hat{M_1} = \hat{M_2}`

`AM = CM ⇒ ΔACM` cân tại `M ⇒ \hat{M_3} = \hat{M_4}`

Xét `ΔBMD` và `ΔAMD` có:

      `BM = AM (cmt)`

      `\hat{M_1}=\hat{M_2}(cmt)`

      `MD:chung`

`⇒ ΔBMD = ΔAMD (c.g.c)`

`⇒ \hat{MBD} = \hat{MAD}` (2 góc tương ứng) (2)

Xét `ΔAME` và `ΔCME` có:

      `AM = CM (cmt)`

      `\hat{M_3}=\hat{M_4}(cmt)`

      `ME:chung`

`⇒ ΔAME = ΔCME (c.g.c)`

`⇒ \hat{MAE} = \hat{MCE}` (2 góc tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) `⇒ \hat{MBD}+ \hat{MCE}=180^o`

má 2 góc này ở vị trí trong cùng phía

$⇒ BD//CE$

b) `ΔBMD = ΔAMD(cmt)`

`⇒ BD = AD` (2 cạnh tương ứng)

`ΔAME = ΔCME(cmt)`

`⇒ AE = CE` (2 cạnh tương ứng)

`⇒ AD + AE = BD + CE`

`=> DE = BD + CE`