Đáp án:

 $ ↓ $

Giải thích các bước giải:

 Bài 13 :

Ta có: \(\dfrac{3}{10}>\dfrac{3}{15}\)

\(\dfrac{3}{11}>\dfrac{3}{15}\)

\(\dfrac{3}{12}>\dfrac{3}{15}\)

\(\dfrac{3}{13}>\dfrac{3}{15}\)

\(\dfrac{3}{14}>\dfrac{3}{15}\)

Do đó: \(\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{11}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{3}{13}+\dfrac{3}{14}>\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}=1\)

hay 1<S(1)

Ta có: \(\dfrac{3}{11}< \dfrac{3}{10}\)

\(\dfrac{3}{12}< \dfrac{3}{10}\)

\(\dfrac{3}{13}< \dfrac{3}{10}\)

\(\dfrac{3}{14}< \dfrac{3}{10}\)

Do đó: \(\dfrac{3}{11}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{3}{13}+\dfrac{3}{14}< \dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{12}{10}\)

\(\Leftrightarrow S< \dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}< 2\)(2)

Từ (1) và (2) $⇒ 1 <  S <  2(đpcm) $

Bài 14 :

\(S=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}\right)\\ \frac{1}{13}< \frac{1}{12}\\ \frac{1}{14}< \frac{1}{12}\\ \frac{1}{15}< \frac{1}{12}\\ \frac{1}{61}< \frac{1}{60}\\ \frac{1}{62}< \frac{1}{60}\\ \frac{1}{63}< \frac{1}{60}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}\right)< \frac{1}{5}+\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}\right)\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{5}+\frac{1}{12}.3+\frac{1}{60}.3\\ \Rightarrow A< \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\\ \Rightarrow A< \frac{4+5+1}{20}\\ \Rightarrow A< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Bài 15 :

a) Đặt `A=(n+1)/(2n+3)(x ne -3/2)`

Giả sử A không là phân số tối giản

`=>n+1 vdots 2n+3`

`=>2n+2 vdots 2n+3`

`=>1 vdots 2n+3`

`=>2n+3 in Ư(1)={1,-1}`

`=>2n in {-2,-4}`

`=>n in {-1,-2}` loại vì `n>=0`

`=>` điều giả sử sai

`=>` A là phân số tối giản với `n in N`

b)

Đặt $( 2n+3;4n+8)=d$

$ ⇒2n+3 $chia hết cho $d$

$ ⇒ 4n+6 $chia hết cho d$$

$4n+8$ chia hết cho$ d$

$ ⇒4n+8-4n-6 $chia hết cho $d$

$ ⇒2 $ chia hết cho$ d$

$ ⇒d= 1 ; d=2$

Mà $2n+3 là số lẻ$

 $d $khác $2$

$ ⇒ d = 1 $

$⇒2n+3 và 4n+8 $nguyên tố cùng nhau

⇒\(\frac{2n+3}{4n+8}\) tối giản

c)

Gọi $d$ là $ƯCLN $( 3n + 1 ; 4n + 1 )$

$ ⇒3n + 1 ⋮ d ⇒ 4.( 3n + 1 ) ⋮ d ⇒ 12n + 4 ⋮ d  ( 1 )$

$⇒ 4n + 1 ⋮ d ⇒ 3.( 4n + 1 ) ⋮ d ⇒ 12n + 3 ⋮ d ( 2 )$

Từ $( 1 )$và $ ( 2 ) $⇒ [ ( 12n + 4 ) - ( 12n + 3 ) ] ⋮ d$

$⇒ 1 ⋮ d ⇒d =1$

Vì $ƯCLN$ ($ 3n + 1 ; 4n + 1 ) = 1$ nên $3n + 1 / 4n + 1 $là phân số  tối giản

Bài 16 :

Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;6n+4\right)\)

\(\Rightarrow3\left(2n+3\right)-\left(6n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow5⋮d\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=5\end{matrix}\right.\)

- Với d=1 \(\Rightarrow\) 2n+3 và 6n+4 nguyên tố cùng nhau nên phân số A không rút gọn được (loại)

- Với \(d=5\Rightarrow2n+3⋮5\)

\(\Rightarrow2n+3=5k\)

\(\Rightarrow2\left(n-1\right)=5\left(k-1\right)\)

Do 2 và 5 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow n-1⋮5\)

\(\Rightarrow n-1=5m\)

\(\Rightarrow n=5m+1\)

Vậy với mọi số tự nhiên n có dạng \(n=5m+1\) (\(m\in N\)) thì A rút gọn được

Bài 17 :

\(a,\dfrac{12}{3n-1}\in Z\)

\(\Rightarrow3n-1\inƯ\left(12\right)\)

\(\Rightarrow3n-1\in\left\{-12;-6;-4;-3-2;-1;1;2;3;4;6;12\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{1;0;-1\right\}\)

b) \(\dfrac{2n+3}{7}\in Z\)

\(\Rightarrow2n+3⋮7\)

\(\Rightarrow2\left(n-2\right)+7⋮7\)

\(\Rightarrow n-2⋮7\)

\(\Rightarrow n=7k+2\left(k\in Z\right)\)

c)