a)

Xét $\Delta ABK$ vuông tại $A$ và $\Delta IBK$ vuông tại $I$, ta có:

+  $BK$ là cạnh chung

+  $\widehat{ABK}=\widehat{IBK}$ (vì $BK$ là phân giác $\widehat{ABC}$)

Nên $\Delta ABK=\Delta IBK\left( ch-gn \right)$

b)

Vì $\Delta ABK=\Delta IBK\left( cmt \right)$

Nên $BA=BI$ và $KA=KI$

Do đó $BK$ là đường trung trực của $AI$

$\Rightarrow \widehat{KAI}=\widehat{KIA}$ và $BK\bot AI$

Lại có $AH\bot BC;KI\bot BC$

$\Rightarrow AH//KI\Rightarrow \widehat{HAI}=\widehat{KIA}$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{KAI}=\widehat{HAI}\Rightarrow AI$ là phân giác $\widehat{HAC}$

c)

Có $\widehat{AFK}=\widehat{IKF}$ (so le trong)

Mà $\widehat{IKF}=\widehat{AKF}$ (vì $BK$ là đường trung trực của $AI$)

Nên $\widehat{AFK}=\widehat{AKF}\Rightarrow \Delta AFK$ cân tại $A$

d)

$\Delta ABI$ có hai đường cao $AH,BF$ cắt nhau tại $F$

Nên $F$ là trực tâm của $\Delta ABI$

$\Rightarrow IF\bot AB$

$\Rightarrow IF//AC\,\,\,\left( 1 \right)$

$\Delta ACM$ cân tại $A$ do $AM=AC$

Có $AI$ là phân giác

Nên $AI$ cũng là đường cao

Vậy trong $\Delta ACM$ có hai đường cao $CH,AI$ cắt nhau tại $I$

Nên $I$ là trực tâm $\Delta ACM$

$\Rightarrow IM\bot AC\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow IM\bot IF$

mik ghi tóm tắt còn bạn ghi chi tiết lại vào vở nhé 

a) Xét tg ABK = tg IBK có

      BAK = BIK = 90 độ (tg ABC vg tại A, IK vg góc vs BI)

      BK chung

      ABK = IBK(BK là tia phân giác)

b) Ta có tg AKI cân tại A ( AK = AI do c/m tg câu a)

=> KAI = KIA

Vì AH vg góc vs BC, KI vg góc vs BC => AH // IK (từ vg góc tới song song)

=> HAI = AIK => HAI = KAI = KIA => AI là tia phân giác HAC

c) Mik ghi tắt chỗ này theo từng bước nhé

B1: C/m tg ABF = tg IBF ( c.g.c) có

          AB = BI (c/m câu a)

       ABF = IBF(phân giác)

      BF chung

=> AF = IF

B2:  tg AFI cân tại I(c/m b1)

=> FAI = FIA

      => KAI = KIA = FAI = FIA

C/m tg AFI = tg AKI(g.c.g)

=> AF = AK => tg AFK cân tại A

d) C/m tag AIM = tg AIC (c.g.c)

        AM = AC (giả thuyết)

      MAI = CAI (tia phân giác)

         AI chung

=> AIM = AIC

mà AIF + FIM = AIM, AIK + KIC = AIC

     mà AIF = AIK

=> FIM = KIC = 90 độ => FI vg góc vs IM

cho xin vote + sao + ctrlhn(nếu có) cho tấm lòng hảo tâm này