a)

$\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến $BM,CN$ cắt nhau tại $G$

Nên $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Do đó $AG$ là đường trung tuyến

Mà $\Delta ABC$ lại cân tại $A$

Nên $AG$ cũng đồng thời là đường phân giác

Vậy $AG$ là phân giác $\widehat{BAC}$

b)

$\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$

Mà $AN=NB=\frac{1}{2}AB\,\,;\,\,AM=MC=\frac{1}{2}AC$

$\Rightarrow AN=NB=AM=MC$

Xét $\Delta AGN$ và $\Delta AGM$, ta có:

+  $AG$ là cạnh chung

+  $\widehat{NAG}=\widehat{MAG}$ (vì $AG$ là phân giác $\widehat{BAC}$)

+  $AN=AM\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AGN=\Delta AGM\left( c.g.c \right)$

Do đó $GN=GM$ (hai cạnh tương ứng)

c)

Ta có $AM=AN\left( cmt \right)$ ; $GM=GN\left( cmt \right)$

Nên $AG$ là đường trung trực của $MN$

d)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$, ta có:

+  $AB=AC$(vì $\Delta ABC$cân tại $A$)

+  $\widehat{BAC}$ chung

+  $AM=AN\left( cmt \right)$

Nên $\Delta ABM=\Delta ACN\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Nên $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$

$\Rightarrow \Delta GBC$ cân  tại $G$

$\Rightarrow GB=GC$

Mà $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Vậy $AG$ là đường trung trực của $BC$