Đáp án:

a/ Ta có $\widehat{ABT}$ = $\widehat{ATP}$ ( góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến một dãy cung chắn $\mathop{AT}\limits^{\displaystyle\frown}$ )

Do đó ΔPAT $\backsim$ ΔPTV (gg)

⇒ $\frac{PA}{PT}$ = $\frac{PT}{PB}$ ⇒ PA.PB = PT²

Ta có ΔPTO vuông (tính chất tiếp tuyến )

Theo định lí Py-ta-go:

PT² = PO² - OT² = PO² - R²

Vậy PA.PB = PT² = PO² - R²

b/ Kẻ OI ⊥ AB ta có IA = IB = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{R}{2}$   ( định lí đường kính dãy cung )

Mặt khác: ΔOIA vuông: OI = $\sqrt[]{OA^2 - AI^2}$ = $\sqrt[]{R^2 - ( \frac{R}{2} )}$  = $\frac{R\sqrt[]{3}}{2}$ 

ΔPIO vuông: PI = $\sqrt[]{PO^2 - OI^2}$ - $\sqrt[]{(2R)^2 - (\frac{R\sqrt[]{3}}{2})}$ = $\frac{R\sqrt[]{13}}{2}$ 

Ta có PA = PI - AI = $\frac{R\sqrt[]{13}}{2}$ - $\frac{R}{2}$ = $\frac{R(\sqrt[]{13} - 1)}{2}$ 

Vậy PB = PA + R = $\frac{R(\sqrt[]{13} - 1)}{2}$ + R = $\frac{R(\sqrt[]{13} + 1)}{2}$