`M=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1} : ({x+1}/x-1/{1-x} +{2+x^2}/{x^2-x})`

ĐKXĐ: `x^2-2x+1=(x-1)^2\ne0⇔x\ne1.`

`1-x\ne0⇔x\ne1.`

`x^2-x=x(x-1)\ne0⇔x\ne1,0.`

`1) M=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1} : ({x+1}/x-1/{1-x} +{2+x^2}/{x^2-x})`

`M=\frac{x(x+1)}{(x-1)^2} : ({(x+1)(x-1)}/{x(x-1)}+x/{x(x-1)} +{2+x^2}/{x(x-1)})`

`M=\frac{x(x+1)}{(x-1)^2} : {x^2-1+x+x^2+2}/{x(x-1)}`

`M=\frac{x(x+1)}{(x-1)^2} : {2x^2+x+1}/{x(x-1)}`

`M=\frac{x(x+1)}{x-1} . {x}/{2x^2+x+1}`

`M= {x^2(x+1)}/{(x-1)(2x^2+x+1)}`

`M={x^3+x^2}/{2x^3-x^2-1}.`

`2)M<`

`⇔{x^3+x^2}/{2x^3-x^2-1}<1`

`⇔{x^3+x^2}/{2x^3-x^2-1}-1<0`

`⇔{x^3+x^2}/{2x^3-x^2-1}-{2x^3-x^2-1}/{2x^3-x^2-1}<0`

`⇔{-x^3+2x^2+1}/{2x^3-x^2-1}<0`

Ta có `2` trường hợp:

`1)-x^3+2x^2+1<0, 2x^3-x^2-1>0`

Giải bất phương trình ta được:

`x>2,20556943,x>1`

`⇔x>2,20556943.`

`2)-x^3+2x^2+1>0, 2x^3-x^2-1<0`

`x<2,20556943, x<1`

`⇔x<1.`

Ta có tập nghiệm của bất phương trình: `S={x//x>2,20556943, x<1}.`

`3)M={x^3+x^2}/{2x^3-x^2-1}⇒2M={2x^3+2x^2}/{2x^3-x^2-1}={2x^3-x^2-1}/{2x^3-x^2-1}+{3x^2+1}/{2x^3-x^2-1}=1+{3x^2+1}/{2x^3-x^2-1}`

`2x^3-x^2-1=(x−1)(2x^2+x+1)`

Có  `2x^2+x+1= \frac{4x^2+2x+2}{2} = \frac{4x^2+ 2. 2x. 1/2 + 1/4 +7/4}{2}=\frac{(2x+1/2)^2+7/4}{2}\ge0AAx`

Với `x>-1⇒(x−1)(2x^2+x+1)` 

Ta có `2` trường hợp (ta chia khoảng) `-1<x\le2`

`⇒(x−1)(2x^2+x+1)<0`

Mà `3x^2+1\ge1>0`

`⇒M` nhỏ nhất khi `2x^3-x^2-1` lớn nhất, tức `2x^3-x^2-1=2⇔x≈1.33794433.`

Với `x\ge2.`

`⇒(x−1)(2x^2+x+1)>0`

`⇒M` nhỏ nhất khi `(x−1)(2x^2+x+1)` lớn nhất.

`⇒` Vô hạn.

Vậy...

`4)` Ta thấy `M=1+{3x^2+1}/{2x^3-x^2-1}`, để `M` nguyên thì `3x^2+1⋮2x^3-x^2-1`

Ta thấy điều này đúng khi `2x^3-x^2-1=0⇔x=1.` (không thỏa `đkxđ`)

`2x^3-x^2-1=1⇔x≈1,19742933` (không thỏa `M∈ZZ`)

`2x^3-x^2-1=-1⇔x=0, x=1/2` (thỏa `x=0,` vì `x=1/2∉ZZ`)

Vậy `x=0` thì `M∈ZZ.`