Đáp án:

a) $BC=8cm; BE=4,8cm$

b) $AB^2=AE.AC$

c) $MB=3cm, MC=5cm$

d) $GK//BC$

Giải thích các bước giải:

a)

Ta có: $AE+EC=AC=3,6+6,4=10(cm)$

$\triangle ABC$ vuông tại B:

$BA^2+BC^2=AC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AC^2-BA^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(cm)$

Lại có:

$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.BA.BC=\dfrac{1}{2}.BE.AC\\\to BA.BC=BE.AC\\\to BE=\dfrac{BA.BC}{AC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8(cm)$

b)

Xét $\triangle EBA$ và $\triangle BCA$:

$\widehat{BEA}=\widehat{CBA}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{BAC}$: chung

$\to\triangle EBA\backsim\triangle BCA$ (g.g)

$\to\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}\\\to AB^2=AE.AC$

c)

$\triangle ABC$ có đường phân giác AM (gt)

$\to\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\\\to MB=\dfrac{3}{5}MC$

Ta có:

$MB+MC=BC=8(cm)\\\to\dfrac{3}{5}MC+MC=8\\\to 8MC=40\\\to MC=5(cm)\to MB=\dfrac{3}{5}.5=3(cm)$

d)

$\triangle AEB$ có đường phân giác AG (gt)

$\to\dfrac{GE}{GB}=\dfrac{AE}{AB}$ (1)

$\triangle BEC$ có đường phân giác BK (gt)

$\to\dfrac{KE}{KC}=\dfrac{BE}{BC}$ (2)

$\triangle ABE$ vuông tại E:

$\widehat{BAE}+\widehat{ABE}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle ABC$ vuông tại B:

$\widehat{BAC}+\widehat{C}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{ABE}=\widehat{C}$

Xét $\triangle AEB$ và $\triangle BEC$:

$\widehat{AEB}=\widehat{BEC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ABE}=\widehat{BCE}$ (cmt)

$\to\triangle AEB\backsim\triangle BEC$ (g.g)

$\to\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{BE}{BC}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\to\dfrac{GE}{GB}=\dfrac{KE}{KC}$

$\to GK//BC$ (định lý Talet đảo)