`210(2).` Gọi hai số chính phương lẻ lần lượt là: `(2k+1)^2, (2q+1)^2` với `k, q∈N`

Theo đề bài, ta giả sử tổng hai số chính phương lẻ có thể viết được thành số chính phương. Ta sẽ chứng minh điều ngược lại.

Ta có: `(2k+1)^2+(2q+1)^2`

`=4k^2+4k+1+4q^2+4q+1`

`=(4k^2+4k+4q^2+4q)+(1+1)`

`=4(k^2+k+q^2+q)+2`

Có `4` chia hết cho `4` `⇒4(k^2+k+q^2+a)` chia hết cho `4` `⇒` `4(k^2+k+q^2+a)+2` chia hết cho `4` dư `2`

Mà theo tính chất, một số chính phương chia cho `4` chỉ có số dư là `0` hoặc `1.` Điều này trái với điều chứng minh trên.

Vậy ta có điều tổng hai số chính phương lẻ không thể viết được thành số chính phương.

`211(2).` Ta giả sử điều phải chứng minh là đúng, thì cũng đúng với mọi trường hợp. Ta giả sử đúng với `n=2k+1` `(k∈NN)`. 

Ta có:

`n=2k+1=2k+1+k^2-k^2=(k^2+2k+1)-k^2=(k+1)^2-k^2`

Ta thấy `k∈N` nên `(k+1)^2,k^2` là hai số chính phương liên tiếp. Từ các điều kiện trên suy ra $đpcm.$

Vậy mọi số lẻ đều viết được dưới dạng của hai số chính phương.