Bài 1:

a) Ta có: $\widehat{BGA} = 180^o - (\widehat{GBA} + \widehat{GAB})$

$=180^o - \dfrac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2}$

$=180^o - \dfrac{180^o}{2} = 90^o$

$\Rightarrow BG\perp GA$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{G} = \widehat{E} = \widehat{F} = \widehat{H} = 90^o$

$\Rightarrow EFGH$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow EG = HF$

b) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC, \, BD$

Ta có: $EFGH$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow EF//GF \Rightarrow DF//BH$

$GF//EH \Rightarrow AF//CH$

Xét $ΔABG$ và $ΔCED$ có:

$\widehat{ABG} = \widehat{CDE}$

$\widehat{G} = \widehat{E} = 90^o$

$AB = CD$

Do đó $ΔABG=ΔCED$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BG = DE$

Xet $ΔBGO$ và $ΔDEO$ có:

$BO = DO$

$BG = DE \, (cmt)$

$\widehat{GBO} = \widehat{EDO}$ (so le trong)

Do đó $ΔBGO=ΔDEO\, (c.g.c)$ 

$\Rightarrow \widehat{BOG} = \widehat{DOE}; \, GO = EO$

$B, O, D$ thẳng hàng

$\Rightarrow G, O, E$ thẳng hàng

$\Rightarrow O$ là trung điểm $EG$

$\Rightarrow O$ là giao điểm hai đường chéo $EG, \, HF$

mà $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC, \, BD$

Vậy $ABCD$ và $EFGH$ có cùng tâm

Bài 2:

Xét $ΔAMQ$ và $ΔBNM$ có:

$\widehat{A} = \widehat{B} = 90^o$

$AM = BN$

$AQ = BM$

Do đó $ΔAMQ=ΔBNM$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow MN = MQ; \, \widehat{AMQ} = \widehat{BNM}$

mà $\widehat{BNM} + \widehat{BMN}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{AMQ} + \widehat{BMN} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{NMQ} = 90^o$

Chứng minh tương tự với các cặp tam giác vuông còn lại, ta được:

$MN = NP = PQ = QM$

$\widehat{M} = \widehat{N} = \widehat{P} = \widehat{Q} = 90^o$

Do đó $MNPQ$ là hình vuông

b) Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$

$\Rightarrow O = AC\cap BD$

Xét $ΔAOM$ và $ΔCOP$ có:

$AM=CP \, (gt)$

$AO = CO$

$\widehat{MAO} = \widehat{PCO} = 45^o$

Do đó $ΔAOM=ΔCOP \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AOM} = \widehat{COP}; \, MO = OP$

mà $A, O, C$ thẳng hàng

$\Rightarrow M, O, P$ thẳng hàng

$\Rightarrow O$ là trung điểm của đường chéo $MP$

$\Rightarrow O$ là tâm của $MNPQ$

$\Rightarrow ABCD, \, MNPQ$ có cùng tâm

c) Gọi $d$ là một trục của hình vuông $ABCD$

$d$ cắt $AB, \, CD$ lần lượt tại $E, \, F$

$ABCD$ và $MNPQ$ có cùng trục đối xứng

$\Leftrightarrow d$ là trục đối xứng của $MNPQ$

$\star$ Trường hợp 1: $M$ đối xứng $N$ qua $d$

$\Rightarrow d\perp MN$

mà $d\perp AB$

$M\in AB; \, N\in BC$

$\Rightarrow M\equiv A; \, N \equiv B$

$\Rightarrow P\equiv C; \, Q\equiv D$

$\star$ Trường hợp 2: $M$ đối xứng $P$ qua $d$

$\Rightarrow d\perp MP$

mà $M\in AB; \, P \in CD$

$d \not\perp MP$

$\Rightarrow d \equiv MP$

$\Rightarrow M\equiv E; \, P\equiv F$

$\Rightarrow N$ là trung điểm $BC$; $Q$ là trung điểm $AD$

$\star$ Trường hợp 3: $M$ đối xứng $Q$ qua $d$

$\Rightarrow d\perp MQ$

mà $M \in AB; \, Q \in AD$

$\Rightarrow M \equiv B; \, Q \equiv A$

$\Rightarrow N\equiv C; \, P \equiv D$

Vậy các điểm $M, N, P, Q$ trùng với hai đầu mút hoặc trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$ thì $MNPQ$ và $ABCD$ có cùng trục đối xứng