a) Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$

Ta có: $OA = OB = OC$

$SA = SB = SC$

$\Rightarrow SO\perp (ABC)$

Do $∆ABC$ đều

nên $AO = \dfrac{2}{3}.AB\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 +AO^2} = \sqrt{9a^2 - \dfrac{4a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{69}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AB\dfrac{\sqrt{3}}{2}.SO = \dfrac{1}{6}.4a^2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{69}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{23}}{3} \, (đvtt)$

b) Ta có:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB.AB\dfrac{\sqrt{3}}{2} = a^2\sqrt{3}$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SB^2 = SM^2 + MB^2$

$\Rightarrow SM= \sqrt{SB^2 - MB^2} = \sqrt{9a^2 - a^2} = 2a\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{SBC} = \dfrac{1}{2}BC.SM = \dfrac{1}{2}.2a.2a\sqrt{2} = 2a^2\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{tp} = S_{ABC} + 3S_{SBC} = a^2\sqrt{3} + 6a^2\sqrt{2} = a^2(\sqrt{3} + 6\sqrt{2}$

c) Kẻ $AH\perp SM$

Ta có:

$AM\perp BC$

$SO\perp BC \, (SO\perp (ABC))$

$\Rightarrow BC\perp (SAM)$

$\Rightarrow BC\perp AH$

mà $AH\perp SM$ (cách dựng)

$\Rightarrow AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Kẻ $OI\perp SM$

$\Rightarrow OI//AH$

mà $\dfrac{MI}{MA} = \dfrac{1}{3}$ (tính chất đường trung tuyến)

nên $\dfrac{OI}{AH} = \dfrac{1}{3}$

Ta có:

$OI.SM = SO.OM = 2S_{SOM}$

$\Rightarrow OI = \dfrac{SO.OM}{SM} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{69}}{3}.\dfrac{1}{3}\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}}{2a\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{46}}{12}$

$\Rightarrow AH = 3OI =\dfrac{a\sqrt{46}}{4}$