a, Giả sử cả 3 bất đẳng thức đều sai hay
$a^2+b^2<2bc;b^2+c^2<2ac;c^2+a^2<2ab$

$⇒a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2<2bc+2ac+2ab$

$⇒(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)<0$
$⇒(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2<0$

Vô lí do $(a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2≥0$

$⇒$ Giả sử sai

Vậy sẽ có ít nhất 1 bất đẳng thức đúng

b, Giả sử a;b đồng thời là số lẻ

$⇒a=2m+1;b=2n+1$

$⇒a^2=4m^2+4m+1=4m(m+1) +1$ lẻ và $b^2=4n^2+4n+1=4.n(n+1)+1$ lẻ

$⇒a^2+b^2=4m(m+1)+4n(n+1)+2$
Ta có: $4.m(m+1);4n(n+1) \vdots 8$ (do $m(m+1);n(n+1) \vdots 2$)

$⇒4m(m+1)+4n(n+1) \vdots 8$

mà $ 2$ ko chia hết cho 8

$⇒4m(m+1)+4n(n+1)+2$ ko chia hết cho 8

Hay $a^2+b^2$ ko chia hết cho 8

⇒Trái với đề bài

⇒Giả sử sai

⇒a;b ko đồng thời là số lẻ

c, Giả sử $a;b$ ko chia hết cho 3

Với $a=3m+1;b=3n+1$

$⇒a^2=9m^2+6m+1;b^2=9n^2+6n+1$

$⇒a^2+b^2=9(m^2+n^2)+6.(m+n)+2$ ko chia hết cho 3

$⇒$ Giả sử sai

Với $a=3m+1;b=3n+2$

$⇒a^2=9m^2+6m+1;b^2=9n^2+12n+4$

$⇒a^2+b^2=9m^2+6m+9n^2+12n+5$

Mà $9m^2+6m+9n^2+12n \vdots 3$

$5$ ko chia hết cho 3

$⇒a^2+b^2=9m^2+6m+9n^2+12n+5$ ko chia hết cho 3

$⇒$ Giả sử sai

Với $a=3m+2;b=3n+1$ tương tự trường hợp trên

Với $a=3m+2;b=3n+2$

$⇒a^2=9m^2+12m+4;b^2=9n^2+12n+4$

$⇒a^2+b^2=9m^2+9n^2+12m+12n+8$

Mà $9m^2+9n^2+12m+12n \vdots 3$

$⇒a^2+b^2=9m^2+9n^2+12m+12n+8$ ko chia hết cho 3

⇒Giả sử sai

Vậy giả sử sai

Giả sử 1 trong 2 số $a;b$ chia hết cho 3

Giả sử là a với b tương tự

$a \vdots 3⇒a=3k$

Với $a=3k;b=3m+1$
$⇒a^2=9k^2;b^2=9m^2+6m+1$

$⇒a^2+b^2=9k^2+9m^2+6m+1$ ko chia hết cho 3 vì $1$ ko chia hết cho 3

Với $a=3k;b=3m+2$

$⇒a^2+b^2=9k^2+9m^2+12m+4$ ko chia hết cho 3 vì $4$ ko chia hết cho 3

Mà $9k^2+9m^2+12m \vdots 3$
⇒Giả sử sai

Vậy cả 2 số a;b pk chia hết cho 3