Ta có: $(a - b)^2 \geq 0 \Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab$

$a^2 + c^2 \geq 2ac$

$b^2 + c^2 \geq 2bc$

Ta được:

$a^2 + b^2 + a^2 + c^2 + b^2 + c^2 \geq 2ab + 2ac + 2bc$

$\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \, (1)$

Gọi $G$ và $O$ lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của $ΔABC$, ta có:

$3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA} - (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}$

$\Leftrightarrow 9(\overrightarrow{OG})^2 = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA})^2$

$\Leftrightarrow 9OG^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 + 2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC})$ $(*)$

Ta lại có: $AB^2 = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})^2 = \overrightarrow{OA^2} + \overrightarrow{OB^2} - 2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = OA^2 + OB^2 - AB^2$

Tương tự với 2 cặp vectơ còn lại, ta được:

$\Rightarrow 2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} = OA^2 + OC^2 - AC^2$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} = OB^2 + OC^2 - BC^2$

Do đó $(*) \Leftrightarrow 9OG^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 + (OA^2 + OB^2 - AB^2 + OA^2 + OC^2 - AC^2 + OB^2 + OC^2 - BC^2) $

$\Leftrightarrow 9OG^2 = 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)$

Mặt khác, $OG \geq 0$ (Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow G \equiv O$)

nên $9OG^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2) \geq 0$

$\Leftrightarrow 9R^2 \geq a^2 + b^2 + c^2 \, (2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow 9R^2 \geq ab + bc + ca$

Dấu "=" xảy ra

$\Leftrightarrow \begin{cases}a - b = 0\\a - c=0\\b - c=0\\G \equiv O \end{cases} \, \Leftrightarrow a = b = c \, \Leftrightarrow ΔABC \, đều$

$\\$

Bất đẳng thức $(2)$ được gọi là Bất đẳng thức Leibniz