Đáp án:

a, 4cm và 16cm

b, 18cm, 98cm

Lời giải:

a) Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ 1:2, cạnh huyền bằng 20 như hình vẽ.

Theo Pi-ta-go ta có:

$a^2+(2a)^2=20^2$

$\Leftrightarrow 5a^2=400$

$\Leftrightarrow a^2=80$

$\Leftrightarrow a=4\sqrt5$cm

Hình chiếu của cạnh góc vuông AB lên cạnh huyền BC là đoạn HB (vì A chiếu vuông góc lên cạnh huyền BC là H, B chiếu lên BC là B)

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC\bot A$ đường cao $AH\bot BC$ ta có:

$AB^2=BH.BC$

$\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{a^2}{20}=\dfrac{80}{20}=4$cm

$\Rightarrow CH=20-4=16$cm

Vậy hình chiếu vuông góc của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền là 4cm và 16cm.
b) Đường cao ứng với cạnh huyền là AH=42cm như hình vẽ

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC\bot A, AH\bot BC$ ta có:

$\dfrac1{AH^2}=\dfrac1{AB^2}+\dfrac1{AC^2}$

$\Rightarrow\dfrac1{42^2}=\dfrac1{(3a)^2}+\dfrac1{(7a)^2}$

$\Rightarrow a^2=232\Rightarrow AB^2=(3a)^2=9a^2=2088$

$\Rightarrow AB=3a=6\sqrt{58}$

$BH^2=AB^2-AH^2=2088-42^2=324$

$\Rightarrow BH=18$cm

Theo công thức tính diên tích

$AH.BC=AB.AC\Rightarrow BC=\dfrac{AB.AC}{AH}=\dfrac{21a^2}{42}=116$

$\Rightarrow CH=98$