b) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC, ta có : 

$BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$

=> $BC^{2}$ = $40^{2}$ + $30^{2}$ = 1600 + 900 = 2500

=> BC = $50^{2}$ 

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ABC, ta có : 

$\frac{DA}{DC}$ = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{40}{50}$ = $\frac{4}{5}$

=> $\frac{AC}{DC}$ = $\frac{9}{5}$ 

=> $\frac{30}{DC}$ = $\frac{9}{5}$ => DC = $\frac{30.5}{9}$

=> DC = $\frac{50}{3}$ cm

Ta có : AD = AC - DC = 30-$\frac{50}{3}$ = $\frac{40}{3}$ cm

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABD, ta có : 

  $AB^{2}$ + $AD^{2}$ = $BD^{2}$

=> $BD^{2}$ = $40^{2}$ +$(\frac{40}{3})^{2}$ = 1600 +  $\frac{1600}{9}$ = $\frac{16000}{9}$ 

=> BD = $\frac{40√10}{3}$ 

d) Ta có : $\frac{AB}{BC}$=$\frac{BH}{BA}$ (ΔABC ≈ ΔHBA)

               $\frac{DA}{DC}$=$\frac{AB}{BC}$ (GT)

               $\frac{BH}{BA}$=$\frac{HI}{AD}$ (ΔHBI ≈ ΔABD)

=>$\frac{DA}{DC}$=$\frac{HI}{AD}$ 

Mà AI=AD nên $\frac{HI}{IA}$=$\frac{AD}{DC}$