Đáp án:

Bạn tham khảo nhé!

Giải thích các bước giải:

a) Xét tam giác ABC có: \(OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C (Định lí đường trung tuyến).

E là trung điểm của BC \( \Rightarrow OE \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

b) Tam giác OBC có OB = OC \( \Rightarrow \Delta OBC\) cân tại O

\( \Rightarrow \) Trung tuyến OE đồng thời là phân giác.

\( \Rightarrow \widehat {COE} = \widehat {BPE} \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {BOD}\)

Xét \(\Delta OCD\) và \(\Delta OBD\) có:

\(\begin{array}{l}OD\,\,chung;\\OC = OB\\\widehat {COD} = \widehat {BOD}\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OCD = \Delta OBD\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {OCD} = \widehat {OBD}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {OCD} = {90^0}\) (CD là tiếp tuyến của (O)).

\( \Rightarrow \widehat {OBD} = {90^0} \Rightarrow BD \bot OB\) tại B.

Vậy BD là tiếp tuyến của (O) tại B.

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot BC\\AC \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AC\parallel OE\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \widehat {BOE} = \widehat {BAC}\) (đồng vị).

Mà \(\widehat {BOE} = \widehat {COE}\) (cmt) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {COE}\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ABC} = {90^0}\\\widehat {COE} + \widehat {CDO} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {CDO} \Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {CDO}\).

Xét tam giác HBC và tam giác CDO có:

\(\widehat {CHB} = \widehat {OCD} = {90^0}\);

\(\widehat {HBC} = \widehat {CDO}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HBC \sim \Delta CDO\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{CB}}{{OD}} = \frac{{HC}}{{OC}} \Rightarrow CB.OC = OD.HC\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\).