a) Ta có: $I$ là trung điểm $MN$ $(gt)$

$\Rightarrow OI\perp MN$

$\Rightarrow \widehat{OIM} = \widehat{AIE} = 90^o$

$AB, \, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B, \, C$ $(gt)$

$\Rightarrow OA$ là trung trực của $BC$

$\Rightarrow \widehat{AHC} = 90^o$

hay $\widehat{AHE} = 90^o$

Xét tứ giác $AHIE$ có:

$\widehat{AIE} = \widehat{AHE} = 90^o$

Do đó $AHIE$ là tứ giác nội tiếp

b) Xét $ΔOIA$ và $ΔOHE$ có:

$\widehat{I} = \widehat{H} = 90^o$

$\widehat{OAI} = \widehat{OEH}$ ($AHIE$ nội tiếp)

Do đó $ΔOIA\sim ΔOHE \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{OI}{OH} = \dfrac{OA}{OE}$

$\Rightarrow OI.OE=OH.OA$

mà $OH.OA= OC^2 = R^2$ (hệ thức lượng)

nên $OI.OE=OH.OA=R^2$

c) Ta có: $S_{ABOC} = 3R^2$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OB.BA + \dfrac{1}{2}OC.CA = 3R^2$

$\Leftrightarrow OC.CA = 3R^2$

$\Leftrightarrow CA = \dfrac{3R^2}{OC} = 3R$

$\Rightarrow OA = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{(3R)^2 + R^2} = R\sqrt{10}$