$n^6-n^4+2n^3+2n^2$

$=n^2(n^4-n^2+2n+2)$

$=n^2[n^2(n^2-1)+2(n+1)]$

$=n^2[n^2.(n-1)(n+1)+2(n+1)]$

$=n^2[(n+1)(n^3-n^2+2)]$

$=n^2[(n+1).(n^3+n^2-2n^2+2)]$

$=n^2.(n+1)(n+1)(n^2-2n+2)$

$=n^2.(n+1)^2.(n^2-2n+2)$

Ta thấy$n^2.(n+1)^2=[n(n+1)]^2$

$n^2-2n+2=(n^2-2n+1)+1=(n-1)^2+1>(n-1)^2$

$n^2-2n+2=n^2-(2n-2)<n^2$ (do $n>1⇒2n-2>0$)

$⇒(n-1)^2<n^2-2n+2<n^2$

Mà $(n-1)^2;n^2$ là 2 số chính phương liên tiếp

$⇒n^2-2n+2$ ko thể là số chính phương

$⇒n^2.(n+1)^2.(n^2-2n+2)$ ko thể là số chính phương

$⇒n^6-n^4+2n^3+2n^2$  ko thể là số chính phương với $n∈N;n>1$ (đpcm)

Đáp án:

 Tham khảo

Giải thích các bước giải:

$ n^6-n^4+2n³+2n²=n².(n^4-n²+2n+2)=n²[n²(n-1)(n+1)+2(n+1)]$
$=n²[(n+1)(n³-n²+2)]=n²(n+1)[(n³+1)-(n²-1)]$
$=n²(n+1)².(n²-2n+2)$

Với $n∈N,n>1$ thì $n²-2n+2=(n-1)²+1>(n-1)²$

 và $n²-2n+2=n²-2(n+1)<n²$

 Vậy$(n-1)²<n²-2n+2<n²⇒n²-2n+2 $không phải là một số chính phương