Giải thích các bước giải:

a.Ta có $DE//BC, DF//AB\to DE//BF, BE//DF\to BFDE$ là hình bình hành

Mà $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}\to BD$ là phân giác $\widehat{EBF}$

$\to BEDF$ là hình thoi

b.Từ câu a $\to DE=BE=BF=DF$

Ta có $DE//BC\to \widehat{ADE}=\widehat{DCF}$

         $DF//AB\to\widehat{FDC}=\widehat{EAD}$

$\to\Delta AED\sim\Delta DFC(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{DF}=\dfrac{ED}{FC}$

$\to AE.FC=DF.DE=DE^2$

c.Ta có $AE//BC\to \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$

$\to AE.BC=AB.DE$

$\to AE.BC+FC.AB=AB.DE+FC.AB=AB.(DE+FC)=AB.(BF+FC)=AB.BC$

d.Ta có $BEDF$ là hình thoi

$\to EF$ là trung trực của $BD$

Mà $K\in EF\to KB=KD$

Ta có $DE//BC\to \widehat{AED}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ADE}$

$\to\Delta ADE$ cân tại $C\to AE=AD=2$

Lại có: $DF//AB\to \widehat{DFC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{DCF}$

$\to\Delta DCF$ cân tại $D\to DF=DC=4$

$\to DE=EB=BF=DF=4$

Ta có: $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AD}{AD+DC}=\dfrac{1}{3}$

$\to \dfrac{DE}{BC-DE}=\dfrac{1}{3-1}$

$\to \dfrac{DE}{DE-BF}=\dfrac12$

$\to \dfrac{DE}{CF}=\dfrac12$
$\to \dfrac{CF}{DE}=2$

$\to \dfrac{KC}{KD}=\dfrac{CF}{DE}=2$

$\to KC=2KD$

$\to KC-KD=KD$

$\to DC=KD$

$\to KD=4$

$\to KB=KD=4$

a, Xét tứ giác BEDF có:

DE // BC (gt) ⇒ DE // BF (F ∈ BC)

DF // AB (gt) ⇒ DF // BE (E ∈ AB)

⇒ Tứ giác BEDF là hình bình hành

Mà BD là tia phân giác của ∠EBF

⇒ Tứ giác BEDF là hình thoi

b, Xét ΔADE và Δ DCF có:

∠DAE = ∠CDF (DF // AB)

∠ADE = ∠DCF (ED // BC)

⇒ ΔADE ~ ΔDCF (g.g)

⇒ AE/ED = DF/FC 

Mà ED = DF (vì tứ giác BEDF là hình thoi)

⇒ AE/ED = ED/FC ⇒ AE.FC = ED²

(Xin lỗi nha, mk chỉ biết làm nhiêu đây thôi)