Bạn tự vẽ hình nhé!

Gọi AD cắt KE tại H

Xét ΔABC có AK/ AB= AE/ AC= 1/3, K ∈AB, E ∈ AC

=> KE// BC

Xét ΔABD có KH// BD (vì KE// BC), K ∈ AB, H ∈AD

=> HK/ BD= AH/ AD (hệ quả talet )(1)

Xét ΔADC có HE// DC (vì KE// BC), E ∈ AC, H ∈ AD

=> AH/ AD= HE/ DC (hệ quả Talet)(2)

Từ (1) và (2) => HK/ BD= HE/ DC

Mà BD= DC (vì D là tđ BC)

=> HK= HE

=> H là tđ KE

Xét ΔMBD có HE// BD (vì KE// BC), H ∈ MD, E ∈ BM

=> HE/ BD= EM/MB

=> 2HE/ 2BD= EM/ MB

=> EK/ BC= EM/ MB

Có EK// BC => ∠KEM= ∠MBC (2 góc so le trong)

Xét ΔMEK và ΔMBC có

∠KEM= ∠MBC

EK/ BC= EM/ MB

=> ΔMEK ~ ΔMBC (c.g.c)

=> ∠KME= ∠BMC

Mà B,M,E thẳng hàng

=> ∠KME và ∠BMC là 2 góc đối đỉnh

=> M,C,K thẳng hàng

=> BE, AD, CK đồng quy tại M

Bài này ta dùng định lí Ceva

Chứng minh

Giả sử ta đã có AD,BE,CF đồng quy tại điểm O

Khi đó ta có :

$\dfrac{S_{AOF}}{S_{BOF}}=\dfrac{FA}{FB}$ do cùng chung đường cao hạ từ O xuống AB

Tương tự : $\dfrac{S_{ACF}}{S_{BCF}}=\dfrac{FA}{FB}$  do cùng chung đường cao hạ từ C xuống AB

Từ đó ⇒$\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{S_{ACF}-S_{AOF}}{S_{BCF}-S_{BOF}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{BOC}}$

Tương tự thì ta có:

$\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{S_{ABO}}{S_{ACO}}$

$\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{S_{BOC}}{S_{ABO}}$

Vậy $\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{BOC}}.\dfrac{S_{ABO}}{S_{ACO}}.\dfrac{S_{BOC}}{S_{ABO}}=1$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chứng minh định lý Ceva đảo

Giả sử ta đã có các điểm D,E,F thỏa mãn $\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1$

Gọi O là giao điểm của AD,BE và F′ là giao điểm của AB,CO

Theo phần thuận chứng minh ở trên thì ta có :

$\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1$

Kết hợp với giả thiết $⇒\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{F'A}{F'B}$

$⇒\dfrac{FA}{FB}+1=\dfrac{F'A}{F'B}+1$

$⇒\dfrac{AB}{F'B}=\dfrac{AB}{FB}$
$⇔F'B=FB$

Vậy F≡F′ hay  AD,BE,CF đồng quy

Áp dụng vào bài ta có:

Do $AD$ là đường trung tuyến $⇒DB=DC⇒\dfrac{DB}{DC}=1$

Mà $AE=\dfrac{1}{3}AC⇒AE=\dfrac{1}{2}EC⇒\dfrac{EC}{AE}=2$

$AK=\dfrac{1}{3}AB⇒AK=\dfrac{1}{2}KB⇒\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{1}{2}$
$⇒\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{AE}.\dfrac{AK}{KB}=1.2.\dfrac{1}{2}=1$
Nên theo định Lí Ceva thì $BE;AD;CK$ đồng quy (đpcm)