1)

Xét tứ giác $BDEC$ có $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90{}^\circ $

Nên tứ giác $BDEC$ nội tiếp

2)

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta ADC$, ta có:

+  $\widehat{BAC}$ là góc chung

+  $\widehat{AEB}=\widehat{ADC}=90{}^\circ $

Nên $\Delta AEB\backsim\Delta ADC\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AD.AB=AE.AC$

3)

Xét tứ giác $ABKE$ có $\widehat{AKB}=\widehat{AEB}=90{}^\circ $

Nên $ABKE$ nội tiếp

Do đó $\widehat{AKE}=\widehat{ABE}$ (cùng chắn cung $AE$)

Xét tứ giác $BDHK$ có $\widehat{BDH}=\widehat{BKH}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{BDH}+\widehat{BKH}=180{}^\circ $

$\Rightarrow BDHK$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AKD}=\widehat{ABE}$ (cùng chắn cung $DH$)

Mà $\widehat{AKE}=\widehat{ABE}\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{AKD}=\widehat{AKE}$

Vậy $AK$ là phân giác $\widehat{DKE}$

4)

$\Delta DBC$ vuông tại $D$ với trung tuyến $DI\Rightarrow DI=\dfrac{1}{2}BC$

$\Delta EBC$ vuông tại $E$ với trung tuyến $EI\Rightarrow EI=\dfrac{1}{2}BC$

$\Rightarrow DI=EI$

$\Rightarrow \Delta IDE$ cân tại $I$

Có $IJ$ là đường trung tuyến

Nên $IJ$ cũng đồng thời là đường cao

Vậy $IJ\bot DE$

Vẽ đường kính $AF\Rightarrow \widehat{ACF}=90{}^\circ $

Vì $BDEC$ nội tiếp

Nên $\widehat{AEG}=\widehat{ABC}$ (góc ngoài bằng góc đối trong)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{AFC}$ (cùng chắn cung $AC$)

Do đó $\widehat{AEG}=\widehat{AFC}$

Xét $\Delta AEG$ và $\Delta AFC$, ta có:

+  $\widehat{AEG}=\widehat{AFC}\left( cmt \right)$

+  $\widehat{EAG}$ là góc chung

Nên $\Delta AEG\backsim\Delta AFC\left( g.g \right)$

Do đó $\widehat{AGE}=\widehat{ACF}=90{}^\circ $

Hay $OA\bot DE$

Mà $IJ\bot DE\left( cmt \right)$

Vậy $OA//IJ$