Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) Ta công nhận:

" Tổng của một số hữu tỉ và số vô tỷ là một số vô tỷ"

" Căn bậc 2 của một số vô tỷ là một số vô tỷ"

$\sqrt[3]{4}$ là số vô tỷ. (Cách cm như cách cm $\sqrt[]{2}$ là số vô tỷ như SGK

$ A = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} > 1 ⇒ A² = \sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{4²}$

$ = \sqrt[3]{4} + 2\sqrt[3]{2} + 4 = 2(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}) + 4 - \sqrt[3]{4} = 2A + 4 - \sqrt[3]{4} $

$ ⇔ A² - 2A + 1 = 5 - \sqrt[3]{4} ⇔ (A - 1)² = 5 - \sqrt[3]{4} $ là số vô tỷ

$ ⇒ A - 1 = \sqrt[]{5 - \sqrt[3]{4} } > 0 $ là số vô tỷ 

$ ⇒ A = 1 + \sqrt[]{5 - \sqrt[3]{4} } > 0 $ là số vô tỷ 

2)Ta có $AM$ là trung tuyến $ ⇒ AM = BM = CM = \frac{BC}{2}$ 

Vẽ $AH ⊥BC$ tại $H ⇒ΔAMN$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ nên có hệ thức :

$MN.MH = AM² ⇒ MN = \frac{AM²}{MH} = \frac{CM²}{MH}$

$CN = CM + MN = CM + \frac{CM²}{MH} = CM(1 + \frac{CM}{MH})$

$ = CM.\frac{CM + MH}{MH} = CM.\frac{CH}{CH - CM}$

$ = 2CM.\frac{CH}{2CH - 2CM} = BC.\frac{CH}{2CH - BC} $

$ = BC\frac{CH.BC}{2CH.BC - BC²} = BC.\frac{AC²}{2AC² - BC²} $ ( vì $CH.BC = AC²$)

$ = a.\frac{BC²cos²\alpha}{2BC²cos²\alpha - BC²} = \frac{acos²\alpha}{2cos²\alpha - 1} (đpcm)$ (Vì $ AC = BCcos\alpha$)