*TH1: pt f(x)=0 vô nghiệm => 2 đường thẳng y = f(x) và y = 0 không giao nhau => f(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox hoặc nằm hoàn toàn dưới trục Ox => f(x) >0 với mọi x thuộc R hoặc f(x) <0 với mọi điểm thuộc R Khi đó với mọi a',b' bất kì ta đều có f(a').fb') >0 => trái giả thiết f(a').f(b')<0 *TH2 : pt f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất => 2 đường thẳng y = f(x) và y = 0 có 1 điểm chung duy nhất, hay f(x) tiếp xúc với trục Ox Lúc này cũng có 2 TH: hoặc Ox nằm hoàn toàn trên trục Ox, hoặc nằm dưới trục Ox Và tương tự TH1 ta cũng có với mọi a',b' thuộc R ta đều có f(a').f(b') => trái giả thiết f(a').f(b')<0 Như vậy chỉ còn tình huống cuối là f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt là sẽ thỏa giả thiết f(a').f(b') <0 Thật vậy, nếu pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y = f(x) và y = 0 sẽ có 2 giao điểm Vẽ ra sẽ thấy trục Ox chia f(x) thành 2 miền : f(x) > 0 và f(x) <0 Khi đó nếu chọn x = a' trong miền f(x) > 0 và x = b' trong miền f(x) <0 thì ta sẽ có f(a').f(b') <0 và ta cũng có điều tương tự khi thay đổi thứ tự miền của a',b' Vậy ta được đpcm Rút gọn

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$f(x) = ax² + bx + c = a[x² + 2.x.\frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})²] - \frac{b² - 4ac}{4a} $ 

$ = a(x + \frac{b}{2a} )² - \frac{b² - 4ac}{4a} = a(x + \frac{b}{2a} )² - \frac{Δ}{4a}$

$ f(k) = a(k + \frac{b}{2a})² - \frac{Δ}{4a} (1)$

$ f(k') = a(k' + \frac{b}{2a})² - \frac{Δ}{4a} (2)$

$f(k).f(k') < 0$ không mất tính tổng quát có thể  giả thiết $ f(k) > 0; f(k') < 0$

@ Nếu $a < 0 ⇒ 4a.f(k) < 0 $

$(1) ⇔ 4a²(k + \frac{b}{2a})² - Δ < 0 ⇔ Δ > 4a²(k + \frac{b}{2a})² ≥ 0$

$⇒ PT : f(x) = ax² + bx + c = 0$ có 2 nghiệm pb

@ Nếu $a > 0 ⇒ 4a.f(k') > 0 $

$(2) ⇔ 4a²(k' + \frac{b}{2a})² - Δ < 0 ⇔ Δ > 4a²(k' + \frac{b}{2a})² ≥ 0$

$ ⇒ PT : f(x) = ax² + bx + c = 0$ có 2 nghiệm pb