a) Ta có:

$TA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ $(gt)$

$\Rightarrow OA\perp TA$

$\Rightarrow \widehat{OAT} = 90^o$

Tương tự với tiếp tuyến $TB$ ta được: $\widehat{OBT} = 90^o$

Xét tứ giác $TAOB$ có:

$\widehat{OAT} + \widehat{OBT} = 180^o$D

Do đó $TAOB$ là tứ giác nội tiếp

b) Do $TA, TB$ là các tiếp tuyến, $A, B$ là các tiếp điểm

nên $TA = TB; \, TO\perp AB; \, AK = KB$

Xét $∆TBK$ và $∆TOB$ có:

$\widehat{K} = \widehat{B} = 90^o$

$\widehat{BTO}:$ góc chung

Do đó $∆TBK\sim ∆TOB\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{TB}{TO} = \dfrac{TK}{TB}$

$\Rightarrow TO.TK = TB^2 \, (1)$

Xét $∆TCB$ và $∆TBD$ có:

$\widehat{BTD}:$ góc chung

$\widehat{TBC} = \widehat{TDB}$ (cùng chắn $\overparen{BC}$)

Do đó $∆TCB\sim ∆TBD\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{TC}{TB} = \dfrac{TB}{TD}$

$\Rightarrow TC.TD = TB^2\, (2)$

$(1)(2) \Rightarrow TC.TD = TK.TO$

c) Ta có:

$\widehat{AEG} = 90^o$ (nhìn đường kính $AG$)

$\widehat{AET} = 90^o$

Xét tứ giác $AKET$ có:

$\widehat{AKT} = \widehat{AET} = 90^o$

Do đó $AKET$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EKB} = \widehat{ETA}$

mà $\widehat{EIB} =\widehat{ETA}$ (cùng phụ $\widehat{IGA}$)

nên $\widehat{EKB} = \widehat{EIB}$

Xét tứ giác $EKIB$ có:

$\widehat{EKB} = \widehat{EIB} \, (cmt)$

Do đó $EKIB$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BKI} = \widehat{KEI}$

mà $\widehat{BEI} = \widehat{BAG}$ (cùng chắn $\overparen{BG}$)

nên $\widehat{BKI} = \widehat{BAG}$

$\Rightarrow KI//AG$

Ta lại có: $AK = KB$

$\Rightarrow HI = IB$ (tính chất đường trung bình)

hay $I$ là trung điểm $HB$

d) Ta có: $AKET$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{KEG} = \widehat{KAT}$ (cùng bù $\widehat{KET}$)

mà $\widehat{KAT} = \dfrac{\overparen{AB}}{2} = \widehat{AOC}$

nên $\widehat{KEG} = \widehat{AOK}$

Xét tứ giác $EKOG$ có:

$\widehat{KEG} = \widehat{AOK} \, (cmt)$

Do đó $EKOG$ là tứ giác nội tiếp