a) Ta có:

$MD\perp AB \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{MDA} = 90^o$

$ME\perp AC\, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{MED} = 90^o$

Xét tứ giác $ADME$ có:

$\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$

Do đó $ADME$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AM = DE$

b) Ta có: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ $(gt)$

$\Rightarrow MA = MB = MC$

$\Rightarrow ∆MAB$ cân tại $M$

Ta lại có $MD\perp AB$

$\Rightarrow MD$ là phân giác của $\widehat{BMA}$, $BD = DA$

$\Rightarrow \widehat{BMD} = \widehat{AMD}$

mà $\widehat{AMD} = \widehat{EDM}$ ($ADME$ là hình chữ nhật)

nên $\widehat{BMD} = \widehat{EDM}$

$\Rightarrow ED//BC$

hay $ED//IK$

Mặt khác ta có: $IB = IM \, (gt)$

$BD = DA$

$\Rightarrow DI$ là đường trung bình

$\Rightarrow DI//AM$

Chứng minh tương tự ta được: $EK//AM$

$\Rightarrow DI//EK \, (//AM)$

Xét tứ giác $DIKE$ có:

$ED//IK\, (cmt)$

$DI//EK \, (cmt)$

Do đó $DIKE$ là hình bình hành

c) $DIKE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{DIK} = \widehat{EKI} = 90^o$

$\Rightarrow DI\perp IK$

Hay $DI\perp BM$

mà $BI = IM$

$\Rightarrow ∆BDM$ vuông cân tại $D$

$\Rightarrow \widehat{B} = 45^o$

$\Rightarrow ∆ABC$ vuông cân tại $A$

Vậy $∆ABC$ vuông cân tại $A$ thì $DIKE$ là hình chữ nhật