a) Ta có: $BC//AD$

$\Rightarrow BC//AE$

mà $AE = BC = \dfrac{AD}{2}$

nên $ABCE$ là hình bình hành

Ta lại có: $\widehat{A} = \widehat{B} = 90^o \, (gt)$

Do đó $ABCE$ là hình vuông

b) Do $ABCE$ là hình vuông

nên $AE = CE$

mà $AE = \dfrac{AD}{2}$

$\Rightarrow AE = CE = DE = \dfrac{AD}{2}$

$\Rightarrow ∆ACD$ vuông tại $C$

c) Xét $∆AHD$ có:

$AK = KH \, (gt)$

$HF = FD \, (gt)$

$\Rightarrow KF$ là đường trung bình

$\Rightarrow KF//AD; \, KF=\dfrac{AD}{2}$

$\Rightarrow KF//AE; \, KF = AE$

$\Rightarrow AEFK$ là hình bình hành

d) Do $AEFK$ là hình bình hành

$\Rightarrow KF = AE; \, KF//AE$

mà $AE = BC; \, AE//BC$ ($ABCE$ là hình vuông)

nên $KF= BC; \, KF//BC$

$\Rightarrow BCFK$ là hình bình hành

$\Rightarrow BK//CF$

Mặt khác, $KF//AD$

mà $AD\perp AB$

$\Rightarrow KF\perp AB$

Xét $∆BAF$ có:

$AH$ là đường cao ứng với cạnh $BF$ $(AH\perp BD)$

$KF$ là đường cao ứng với cạnh $AB$ $(KF\perp AB)$

$KF$ giao $AH$ tại $K$

$\Rightarrow K$ là trực tâm của $∆BAF$

$\Rightarrow BK$ là đường cao ứng với cạnh $AF$

hay $BK\perp AF$

mà $BK//CF \, (cmt)$

Do đó $CF\perp AF$