Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔  hoặc suy biến 

Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔  hoặc suy biến 

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  giảm trên nửa khoảng [1; +∞)?

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Chọn A

Tập xác định D = ℝ, yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

mx² + 14mx + 14 ≤ 0, ∀ x ≥ 1 tương đương với 

Dễ dàng có được g(x) là hàm tăng ∀ x ∊ [1; +∞), suy ra 

Kết luận: 

Ví dụ 2: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ – 3mx² – m nghịch biến trên khoảng (0;1)?

A. m ≥ 0

B. 

C. m ≤ 0

D. 

Lời giải

Chọn D

y’ = mx² – 6mx = 0 

Hàm số y = x³ – 3mx² – m nghịch biến trên khoảng (0;1) ⇔ 2m ≥ 1 ⇔ m ≥ ½

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ + 3x² – mx + 1 đồng biến trên khoảng (-∞;0).

A. m ≤ 0

B. m ≥ -2 .

C. m ≤ -3

D. m ≤ -1

Lời giải

Chọn C

Tập xác định: D = ℝ

Đạo hàm: y’ = 3x² + 6x – m

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0) khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x < 0

⇔ 3x² + 6x – m ≥ 0, ∀ x < 0

Cách 1:

3x² + 6x – m ≥ 0, ∀ x < 0 ⇔ 3x² + 6x ≥ m, ∀ x < 0.

Xét hàm số f(x) = 3x² + 6x trên khoảng (-∞;0), ta có:

f’(x) = 6x + 6. Xét f’(x) = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1. Ta có f(-1) = -3.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: m ≤ -3 .

Cách 2:

Ta có ∆’ = 9 + 3m

Nếu ∆’ ≤ 0 ⇔ m ≤ -3 thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ y’ ≥ 0, ∀ x < 0

Nếu ∆’ > 0 thì y’ có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. Khi đó để y’ ≥ 0, ∀ x < 0 thì ta phải có 0 ≤ x₁ < x₂. Điều này không thể xảy ra vì S = x₁ + x₂ = -2 < 0

Vậy m ≤ -3.

Cách 3:

Phương án B: Với m = -3 ta có y = x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³. Khi đó y’ = 3(x + 1)³ ≥ 0 ∀ x

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0). Vậy B là đáp án đúng.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x³ – 3mx² – 9m²x nghịch biến trên khoảng (0;1).

A. 

B. 

C. m < -1

D.  hoặc m ≤ -1

Lời giải

Chọn D

Tập xác định D = ℝ

y’ = 3x² – 6mx -9m²

y’ = 0 ⇔ 3x² – 6mx -9m² = 0 ⇔ x² – 2mx -3m² = 0

Nếu –m = 3m ⇔ m = 0 thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ nên hàm số không có khoảng nghịch biến.

Nếu –m < 3m ⇔ m > 0  thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-m; 3m).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) 

Kết hợp với điều kiện ta được 

Nếu –m > 3m ⇔ m < 0  thì hàm số nghịch biến trên khoảng (3m; -m)

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) 

Kết hợp với điều kiện ta được m ≤ -1

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) khi m ≤ -1 hoặc 

 Chúc bn học tốt