Giải thích các bước giải:

a, ΔABC có P là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC

⇒ PM là đường trung bình ⇒ PM ║ AC hay PM ║ AN

M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình ⇒ MN ║ AB hay MN ║ AP

Tứ giác APMN có 2 cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành

Mà $\widehat{A}$ là góc vuông

⇒ APMN là hình chữ nhật

⇒ AM = PN (đpcm)

b, PM ║ NC, PN ║ MC ⇒ Tứ giác PMNC là hình bình hành

⇒ 2 đường chéo MN, CP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của MN

⇒ I là trung điểm của CP

⇒ C, I, P thẳng hàng (đpcm)

c, Tứ giác AMCD có 2 đường chéo MD, AC cắt nhau tại N là trung điểm của mỗi đường

⇒ AMCD là hình bình hành

Mà MD ⊥ AC (do MD ║ AB, AB ⊥ AC) nên AMCD là hình thoi

d, Ta có: IM = $\frac{1}{2}$MN

Kẻ EF ⊥ IM (F ∈ IM)

⇒ EF ║ AN ⇒ $\frac{EF}{AN}$ = $\frac{EM}{AM}$ = $\frac{EM}{EM+EA}$ 

mà $\frac{EM}{EA}$ = $\frac{IM}{AP}$ = $\frac{1}{2}$

⇒ EA = 2EM ⇒ $\frac{EF}{AN}$ = $\frac{1}{1+2}$ = $\frac{1}{3}$

$S_{MEI}$ = $\frac{1}{2}$.EF.IM = $\frac{1}{2}$.$\frac{1}{3}$.AN.$\frac{1}{2}$.AP = 2

⇒ AN.AP = 24

⇒ $S_{APMN}$ = 24 ⇒ $S_{ABC}$ = 2.$S_{APMN}$ = 2.24 = 48$cm^{2}$